Задача 1. Разложите в ряд Фурье функцию y=-x, заданную на отрезке [-5;5], и периодически продолженную на всю числовую ось.

Решение: Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Ряд Фурье для этой функции на отрезке [-5;5] примет вид

formula30

Коэффициенты ряда ищутся по формулам:

Так как наша функция f(x) – нечетная, т.е.

formula33

то для нее  formula34, в чем не сложно убедиться

formula35

И так как функция formula36 является нечетной, тоformula37 как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, в чем тоже несложно убедиться:

 formula38

Ненулевым остается только коэффициент formula39

formula40

Ряд Фурье для нашей функции будет иметь вид

 formula41

Задача 2. Найти неопределенный интеграл
formula71

Решение:
Произведем замену переменной
formula72
dx тоже нужно заменить на dt, для этого продифференцируем t
formula73
Осталось выразить dx
formula74
Подставляем в наш интеграл
formula75
возвращаем x
formula76

Задача 3. Найти производную функции

    \[ y= \cos ^{ \sin x} 3x \]

Решение:
Посчитаем эту производную с помощью логарифмического дифференцирования, для этого «навесим» логарифмы на обе части уравнения

    \[ \ln y= \ln \cos ^{\sin x} 3x \]

Теперь, по свойствам логарифма можно вынести степень

    \[ \ln y= \sin x \ln \cos 3x \]

Теперь продифференцируем полученное уравнение. В правой части у нас производная произведения, а слева производная сложной функции (так как y зависит от x).

    \[ \frac 1y y'=\sin' x \ln \cos 3x + \sin x (\ln \cos 3x)'  \]

    \[ \frac 1y y'=\cos x \ln \cos 3x - \sin x \frac {3 \sin 3x}{\cos 3x}  \]

    \[ y'= ( \cos x \ln \cos 3x - 3 \sin x \tg 3x) y \]

    \[ y'=( \cos x \ln \cos 3x - 3 \sin x \tg 3x) \cos ^{ \sin x} 3x \]

Задача 4. Найти предел

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac {x^2-3x+2}{(x-2)(x+1)} \]

Решение:
Подставив \infty в функцию получим неопределенность вида \frac {\infty}{\infty}. Преобразуем функцию.
Разложим числитель на множители

    \[ D=9-8=1 \to x_1=\frac{3+1}{2}=2, x_2=\frac {3-1}{2}=1 \]

    \[ \lim_{x \to \infty}\frac {x^2-3x+2}{(x-2)(x+1)}=\lim_{x \to \infty} \frac {(x-2)(x-1)}{(x-2)(x+1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1} \]

Подставив \infty в функцию убеждаемся, что неопределенность вида \frac {\infty}{\infty} осталась. Для ухода от нее разделим числитель и знаменатель на x.

    \[ \lim_{x \to \infty}\frac {1-\frac 1x}{1+ \frac 1x} \]

И в числителе и в знаменателе \frac 1x \to 0 при x \to \infty. Поэтому

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac {1- \frac 1x}{1+ \frac 1x} = 1 \]

Задача 5. Найти предел

    \[ \lim_{x \to 4} \frac {2x^2-9x+4}{\sqrt {5-x}-\sqrt {x-3}} \]

Решение:
Подставим x=4 в функцию и увидим неопределенность \frac 00. Для избавления от корней в знаменателе умножим и разделим дробь на сопряженное знаменателю выражение

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[ \lim_{x \to 4} \frac {(2x^2-9x+4)(\sqrt {5-x}+\sqrt {x-3})}{(\sqrt {5-x}-\sqrt {x-3})(\sqrt {5-x}+\sqrt {x-3}))= \lim_{x \to 4} \frac {(2x^2-9x+4)(\sqrt {5-x}+\sqrt {x-3})}{5-x-x+3} \]

*** Error message:
Font T2A/cmr/m/n/10.95=larm1095 at 10.95pt not loadable: Metric (TFM) file not found.
leading text: \begin{document}
File ended while scanning use of \frac .
Emergency stop.

Появившаяся скобка в числителе при x=4 равна 2, поэтому выражение примет вид

    \[2 \lim_{x \to 4} \frac {2x^2-9x+4}{8-2x} = \lim_{x \to 4} \frac {2x^2-9x+4}{4-x} \]

Снова подставим х=4 и убедимся, что неопределенность осталась. Разложим числитель на множители

    \[ D=49, x_1=\frac 12, x_2=4 \]

    \[ \lim_{x \to 4} \frac {(x-\frac 12)(x-4)}{4-x}=- \lim_{x \to 4} \left(x- \frac 12 \right)=- \frac 72 \]

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`