На прошлом уроке мы научились решать задачи на проценты. А сегодня разберем более сложный вид задач. Задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на ЕГЭ, но умеют решать их, увы, не многие. Сегодня мы постараемся исправить эту ситуацию и научимся решать данную разновидность задач.

Для начала стоит отметить, что решить задачу становится намного легче, если использовать таблицу. Как ее составить и чем она может помочь разберем на примерах чуть позже.

А сейчас приведу примеры раствора, смеси и сплава.

Раствор.  В 190 грамм воды добавим 10 грамм уксусной кислоты, получим раствор, масса которого равна 190 + 10 = 200 грамм. Концентрация кислоты (процентное содержание) — это отношение количества уксуса к количеству раствора, записанное в процентах:

formula16
Процентное содержание воды:

formula17

Смесь. У нас есть одно ведро песка и три ведра извести. Смешаем содержимое всех ведер, получим смесь извести с песком, её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация (процентное содержание песка) — это отношение количества песка к количеству смеси, записанное в процентах:

formula18

Процентное содержание извести:

formula19

Сплав. Имеем сплав меди и свинца, в котором 100 грамм меди и 150 грамм свинца. Концентрация (процентное содержание меди) – отношение количества меди к количеству смеси в процентах:

formula20

Как можно заметить, во всех задачах на сплавы, растворы, смеси используется всего одна формула:

formula21

где K — процентное содержание чистого вещества в сплаве или растворе,

m –  масса чистого вещества

M  — масса сплава или раствора.

А теперь посмотрим как решать  задачи на практике.

Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 15%-ого раствора соли, добавили 7 литров воды. Какова концентрация соли в полученном растворе (в процентах)?

Решение.

Нарисуем таблицу и заполним ее:
1. Для начала определимся, какую неизвестную мы обозначим за х. В нашей задаче удобно за х принять саму искомую величину, т.е. концентрацию соли в полученном растворе.
Теперь в таблице заполним все ячейки, которые нам известны.

1-ый раствор 2-ой раствор Полученный раствор
Соль 15% х%
Вода 100%
Масса раствора 5 л. 7 л. 12 л.

 

2. Чтобы применить формулу, нам нужно знать массу соли в полученном растворе, а так как масса соли в первом растворе и в полученном одинакова, то можем найти ее:
formula22

3. Теперь несложно найти х, подставив данные в формулу:

formula23

Ответ: Концентрация соли в полученном растворе – 6,25%.

Задача 2. Сколько килограммов меди нужно добавить к куску бронзы массой 8 кг и содержащему 13% меди, чтобы повысить содержание в нем меди до 25% от общей массы?

Решение.

По условию составим таблицу, считая, что смешали два сплава и второй сплав содержит 100% меди и не содержит остальных компонентов.

1-ый сплав 2-ой сплав полученный сплав
медь 13%

100%

25%
бронза
сплав 8кг.

 

1. Масса меди в первом сплаве

formula24

2. Обозначим массу меди во втором сплаве х кг;

3. Масса меди в полученном сплаве (1,04 + х) кг;

4. Масса второго сплава х кг, так как он состоит только из меди, которую в пункте 2 мы обозначили за х кг;

5. Масса полученного сплава (8 + х) кг;

6. Отношение массы меди в полученном сплаве к массе полученного сплава

formula25

по условию задачи оно должно быть равно 0,25. Имеем уравнение

formula26

Решим его

formula27

Ответ: 1,28 кг. нужно добавить к 1-ой смеси.

Задача 3. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?

Решение.

Запишем данные в таблицу:

Свежие грибы Сухие грибы
вода 90%

15%

«мякоть»
смесь 34 кг. х кг.

 

При сушке грибов (ягод, фруктов) происходит испарение воды, то есть масса воды уменьшается, а масса «мякоти» остается постоянной.

1. Процентное содержание «мякоти» в свежих грибах 100% — 90% = 10%;

2. Масса «мякоти»

formula28

3. Процентное содержание мякоти в сухих грибах 100% — 15% = 85%;

4. Обозначим массу сушеных грибов за х кг;

5. Отношение массы «мякоти» к массе сушеных грибов 3,4 / х, что по условию задачи равно 0,85.

Имеем уравнение

formula29

Ответ: Получим 4 кг. сухих грибов.

А если по какой-либо причине у Вас не получается решить задачу самостоятельно, Вы можете заказать решение у нас. Стоимость решения одной задачи из школьного курса — 10 руб.

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`