Тригонометрические формулы:
Не буду приводить здесь все существующие тригонометрические формулы, а выделю лишь те, которые встречаются в практических заданиях. Со всеми остальными формулами вы вряд ли когда-нибудь столкнетесь.
Основное тригонометрическое тождество:

    \[ \sin^2 x+ \cos^2 x=1 \]

отсюда следует пара простых формул:

    \[ \sin^2 x=1- \cos^2 x=(1- \cos x)(1+ \cos x) \]

    \[ \cos^2 x=1- \sin^2 x=(1- \sin x)(1+ \sin x) \]

И еще одно важное тождество, следующее из определения \tg и \ctg:

    \[ \tg x= \frac {\sin x}{\cos x}, \; \ctg x= \frac {\cos x}{\sin x} \; \Rightarrow \; \tg x \ctg x=1 \]

и теперь совершенно очевидным стало, что

    \[ \tg x= \frac {1}{\ctg x}, \; \ctg x= \frac {1}{\tg x} \]

Еще в примерах встречаются формулы-следствия из основного тригонометрического тождества:

    \[ \tg^2 x+1= \frac {1}{\cos^2 x}, \; \ctg^2 x+1= \frac {1}{\sin^2 x} \]

Формулы двойного угла:

    \[ \sin 2x=2 \sin x \cos x \]

    \[ \cos 2x=\cos^2 x- \sin^2 x \]

И следствия из них:

    \[ \sin^2 x=\frac {1-\cos 2x}{2} \]

    \[ \cos^2 x=\frac {1+\cos 2x}{2} \]

И для \tg и \ctg:

    \[ \tg^2 x= \frac {1- \cos 2x}{1+ \cos 2x} \]

    \[ \ctg^2 x= \frac {1+ \cos 2x}{1- \cos 2x} \]

Эти формулы встречаются очень часто, поэтому лучше всего их запомнить.
Также довольно часто приходится применять следующие группы формул:
Формулы сложения аргументов

    \[ \sin ( \alpha + \beta )= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]

    \[ \cos ( \alpha+ \beta)= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \]

    \[ \sin ( \alpha - \beta )= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \]

    \[ \cos ( \alpha - \beta)= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \]

    \[ \tg (\alpha \pm \beta)= \frac {\tg \alpha \pm \tg \beta}{1 \mp \tg \alpha \tg \beta} \]

    \[ \ctg (\alpha \pm \beta)= \frac {\ctg \alpha \ctg \beta \mp 1}{\ctg \alpha \pm \ctg \beta} \]

Формулы суммы тригонометрических функций

    \[ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac {\alpha + \beta}{2} \cos \frac {\alpha - \beta}{2} \]

    \[ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac {\alpha + \beta}{2} \cos \frac {\alpha - \beta}{2} \]

    \[ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac {\alpha - \beta}{2} \cos \frac {\alpha + \beta}{2} \]

    \[ \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac {\alpha + \beta}{2} \sin \frac {\alpha - \beta}{2} \]

    \[ \tg \alpha \pm \tg \beta = \frac {\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \]

    \[ \ctg \alpha \pm \ctg \beta = \pm \frac {\sin (\alpha \pm \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} \]

Формулы произведения тригонометрических функций

    \[ \sin \alpha \sin \beta = \frac {\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)}{2} \]

    \[ \sin \alpha \cos \beta = \frac {\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)}{2} \]

    \[ \cos \alpha \cos \beta = \frac {\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)}{2} \]

    \[ \tg \alpha \tg \beta = \frac {\tg \alpha + \tg \beta}{\ctg \alpha + \ctg \beta } \]

    \[ \ctg \alpha \ctg \beta =\frac {\ctg \alpha + \ctg \beta}{\tg \alpha +\tg \beta} \]

А в самом конце приведу формулы, которые вам вряд ли когда-нибудь встретятся, но если вдруг такое случится, то они у вас будут
Формулы тройного аргумента:

    \[ \sin 3x=3 \sin x - 4 \sin^3 x \]

    \[ \cos 3x=4 \cos^3 x -3 \cos x \]

Формулы половинного аргумента:

    \[ \sin^2 \frac x2 = \frac {1- \cos x}{2} \]

    \[ \cos^2 \frac x2 = \frac {1+ \cos x}{2} \]

    \[ \tg^2 \frac x2= \frac {1- \cos x}{1+ \cos x} \]

    \[ \ctg^2 \frac x2= \frac {1+ \cos x}{1- \cos x} \]

    \[ \tg \frac x2= \frac {\sin x}{1+ \cos x} \]

    \[ \ctg \frac x2= \frac {\sin x}{1- \cos x} \]

Формулы приведения:

 formula95

Знаки тригонометрических функций:
 formula96

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`