Задача №845
Задача №846
Задача №847
Задача №848
Задача №849
Задача №850
Задача №851
Задача №852
Задача №853
Задача №854
Задача №855
Задача №856
Задача №857
Задача №858
Задача №859
Задача №860
Задача №861
Задача №862
Задача №863
Задача №864
Задача №865
Задача №866
Задача №867
Задача №868
Задача №869
Задача №870
Задача №871
Задача №872
Задача №873
Задача №874
Задача №875
Задача №876
Задача №877
Задача №878
Задача №879
Задача №880
Задача №881
Задача №882
Задача №883
Задача №884
Задача №885
Задача №886
Задача №887

Задача №845.
Найти производную функции

    \[ y= \frac {2x}{1-x^2} \]

Решение:

    \[ y'= \frac {(2x)'(1-x^2)-2x(1-x^2)'}{(1-x^2)^2}= \frac {2(1-x^2)+4x^2}{(1-x^2)^2}= \frac {2-2x^2+4x^2}{(1-x^2)^2}= \frac {2(1+x^2)}{(1-x^2)^2} \]

,
при |x| \not= 1

Задача №846.
Найти производную функции

    \[ y= \frac {1+x-x^2}{1-x+x^2} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} y'&= \frac {(1+x-x^2)'(1-x+x^2)-(1+x-x^2)(1-x+x^2)'}{(1-x+x^2)^2} =\\ &= \frac {(1-2x)(1-x+x^2)-(1+x-x^2)(2x-1)}{(1-x+x^2)^2} =\\ &= \frac {(1-2x)(1-x+x^2+1+x-x^2)}{(1-x+x^2)^2} =\\ &= \frac {2(1-2x)}{(1-x+x^2)^2}  \end{split} \end{align*}

Задача №847.
Найти производную функции

    \[ y= \frac {x}{(1-x)^2(1+x)^3} \]

Решение:

    \[ \ln y = \ln \frac {x}{(1-x)^2(1+x)^3} \]

    \[ \ln y= \ln x - \ln (1-x)^2 - \ln (1+x)^3 = \ln x - 2 \ln (1-x) - 3 \ln (1+x) \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac 1x + \frac {2}{1-x} - \frac {3}{1+x} \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac {(1-x)(1+x)+2x(1+x)-3x(1-x)}{x(1-x^2)} \]

    \[  \frac {y'}{y}= \frac {1-x^2+2x+2x^2-3x+3x^2}{x(1-x^2)} \]

    \[  \frac {y'}{y}= \frac {1-x+4x^2}{x(1-x^2)} \]

    \[ y' = \frac {1-x+4x^2}{x(1-x^2)} y \]

    \[ y' = \frac {1-x+4x^2}{x(1-x^2)} \frac {x}{(1-x)^2(1+x)^3} \]

    \[ y' = \frac {1-x+4x^2}{(1-x)^3(1+x)^4} \]

при |x| \not= 1.

Задача №848.
Найти производную функции

    \[ y= \frac {(2-x^2)(2-x^3)}{(1-x)^2} \]

Решение:
«Навесим» на обе части уравнения логарифмы и воспользуемся их свойствами

    \[ \ln y= \ln \frac {(2-x^2)(2-x^3)}{(1-x)^2} \]

    \[ \ln y= \ln (2-x^2) + \ln (2-x^3) - \ln (1-x)^2 \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac {-2x}{2-x^2} + \frac {-3x^2}{2-x^3} - \frac {-2}{1-x} \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac {-2x(2-x^3)(1-x)-3x^2(2-x^2)(1-x)+2(2-x^2)(2-x^3)}{(2-x^2)(2-x^3)(1-x)}  \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac {-4x+2x^4+4x^2-2x^5-6x^2+3x^4+6x^3-3x^5+8-4x^3-4x^2+2x^5}{(2-x^2)(2-x^3)(1-x)}  \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac {8-4x-6x^2+2x^3+5x^4-3x^5}{(2-x^2)(2-x^3)(1-x)} \]

    \[ y'= \frac {(8-4x-6x^2+2x^3+5x^4-3x^5)}{(2-x^2)(2-x^3)(1-x)} \frac {(2-x^2)(2-x^3)}{(1-x)^2} \]

    \[ y'= \frac {8-4x-6x^2+2x^3+5x^4-3x^5}{(1-x)^3} \]

при x \not= 1.

Задача №849.
Найти производную функции

    \[ y= \frac {(1-x)^p}{(1+x)^q} \]

Решение:
«Навесим» на обе части уравнения логарифмы и воспользуемся их свойствами

    \[ \ln y= \ln (1-x)^p - \ln (1+x)^q \]

    \[ \ln y= p \ln (1-x) - q \ln (1+x) \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac {-p}{1-x} - \frac {q}{1+x}= \frac {-p-px-q+qx}{1-x^2}=- \frac {p+q+x(p-q)}{1-x^2} \]

    \[ y'= - \frac {(p+q+x(p-q))(1-x)^p}{(1-x^2)(1+x)^q} = - \frac {(p+q+x(p-q))(1-x)^{p-1}}{(1+x)^{q+1}} \]

при x \not= -1.

Задача №850.
Найти производную функции

    \[ y= \frac {x^p(1-x)^q}{1+x} \]

Решение:
«Навесим» на обе части уравнения логарифмы и воспользуемся их свойствами

    \[ \ln y= \ln x^p + \ln (1-x)^q - \ln (1+x) \]

    \[ \ln y= p \ln x + q \ln (1-x) - \ln (1+x) \]

    \[ \frac {y'}{y} = \frac px -\frac {q}{1-x} - \frac {1}{1+x} \]

    \[ \frac {y'}{y} = \frac {p(1-x^2) - qx(1+x) - x(1-x)}{x(1-x^2)} \]

    \[ \frac {y'}{y} = \frac {p-px^2-qx-qx^2-x+x^2}{x(1-x^2)} \]

    \[ \frac {y'}{y} = \frac {p-x(q+1)-x^2(p+q-1)}{x(1-x^2)} \]

    \[ y'= \frac {(p-x(q+1)-x^2(p+q-1))}{x(1-x^2)} \frac {x^p(1-x)^q}{(1+x)} \]

    \[ y'= \frac {(p-x(q+1)-x^2(p+q-1))x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{(1+x)^2} \]

при x \not= -1.

Задача №851.
Найти производную функции

    \[ y= x+\sqrt {x} + \sqrt [3] {x} \]

Решение:

    \[ y'= (x+x^{ \frac 12} + x^{ \frac 13 })'=1+ \frac 12 x^{- \frac 12} + \frac 13 x^{- \frac 23}=1+ \frac {1}{2 \sqrt {x}} + \frac {1}{3 \sqrt [3] {x^2}} \]

при x>0.

Задача №852.
Найти производную функции

    \[ y= \frac 1x+ \frac {1}{ \sqrt {x}} + \frac {1}{ \sqrt [3] {x}} \]

Решение:

    \[ y'= (x^{-1}+x^{- \frac 12}+x^{- \frac 13})'=-x^{- \frac 12} - \frac 12 x^{- \frac 32}}- \frac 13 x^{- \frac 43}= - \frac {1}{x^2} - \frac {1}{2x \sqrt {x}} - \frac {1}{3x \sqrt [3]{x}} \]

при x>0.

Задача №853.
Найти производную функции

    \[ y= \sqrt [3] {x^2}- \frac {2}{\sqrt {x}} \]

Решение:

    \[ y'=(x^{\frac 23}-2x^{- \frac 12})'=\frac 23 x^{- \frac 13} +x^{- \frac 32} = \frac {2}{3 \sqrt [3]{x}}+ \frac {1}{x \sqrt {x}} \]

при x>0.

Задача №854.
Найти производную функции

    \[ y= x \sqrt {1+x^2} \]

Решение:

    \[ y'= \sqrt {1+x^2} +2x^2 \frac 12 \frac {1}{\sqrt {1+x^2}}=\frac {1+2x^2}{\sqrt {1+x^2}} \]

Задача №855.
Найти производную функции

    \[ y= (1+x) \sqrt {2+x^2} \sqrt [3]{3+x^3} \]

Решение:
«Навесим» логарифмы на обе части уравнения и применим их свойства

    \[ \ln y=\ ln (1+x) + \frac 12 \ln (2+x^2) + \frac 13 \ln (3+x^3) \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac {1}{1+x} + \frac 12 \frac {2x}{(2+x^2)}+ \frac 13 \frac {3x^2}{(3+x^3)} \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac {(2+x^2)(3+x^3)+x(1+x)(3+x^3)+x^2(1+x)(2+x^2)}{(1+x)(2+x^2)(3+x^3)} \]

    \[ y'= \frac {6+3x+8x^2+4x^3+2x^4+3x^5}{(1+x)(2+x^2)(3+x^3)} y \]

    \[ y'= \frac {6+3x+8x^2+4x^3+2x^4+3x^5}{\sqrt {2+x^2} \sqrt [3]{(3+x^3)^2}} \]

при x \not= \sqrt [3] {-3}.

Задача №856.
Найти производную функции

    \[ y= \sqrt [m+n] {(1-x)^m (1+x)^n} \]

Решение:
«Навесим» логарифмы на обе части уравнения и применим их свойства

    \[ \ln y = \frac {m}{m+n} \ln (1-x) + \frac {n}{m+n} \ln (1+x) \]

    \[ \frac {y'}{y} = \frac {1}{m+n} \left(- \frac {m}{1-x}+ \frac {n}{1+x} \right) \]

    \[ y'= \frac {1}{m+n} \frac {-m-mx+n-nx}{1-x^2} y \]

    \[ y'= \frac {1}{m+n} \frac {n-m-x(m+n)}{1-x^2} \sqrt [m+n] {(1-x)^m (1+x)^n}  \]

    \[ y'=\frac {(n-m-x(m+n))(1-x)^{\frac {m}{m+n}-1} (1+x)^{\frac {n}{m+n}-1}}{m+n} \]

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[  y'=\frac {(n-m-x(m+n))(1-x)^{\frac {-n}{m+n}} (1+x)^{\frac {-m}{m+n}}{m+n} \]

*** Error message:
Font T2A/cmr/m/n/10.95=larm1095 at 10.95pt not loadable: Metric (TFM) file not found.
leading text: \begin{document}
File ended while scanning use of \frac .
Emergency stop.

    \[ y'= \frac {n-m-x(m+n)}{(m+n)\sqrt [m+n] {(1-x)^n (1+x)^m}} \]

при |x| \not= 1.

Задача №857.
Найти производную функции

    \[ y= \frac {x}{\sqrt {a^2-x^2}} \]

Решение:
«Навесим» логарифмы на обе части уравнения и применим их свойства

    \[ \ln y= \ln x - \ln (a^2-x^2)^{\frac 12}  \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac 1x - \frac 12 \left( \frac {-2x}{a^2-x^2} \right) \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac {a^2-x^2+x^2}{x(a^2-x^2)} \]

    \[ y'= \frac {a^2}{x(a^2-x^2)}\frac {x}{\sqrt {a^2-x^2}} \]

    \[ y'= \frac {a^2}{\sqrt {(a^2-x^2})^3} \]

при |x|<|a|.

Задача №858.
Найти производную функции

    \[ y= \sqrt [3] { \frac {1+x^3}{1-x^3}} \]

Решение:
«Навесим» логарифмы на обе части уравнения и применим их свойства

    \[ \ln y= \frac 13 \left( \ln (1+x^3) - \ln (1-x^3) \right) \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac 13 \left( \frac {3x^2}{1+x^3} + \frac {-3x^2}{1-x^3} \right) \]

    \[ y'= \frac {2x^2}{1-x^6} y \]

    \[ y'= \frac {2x^2}{1-x^6} \sqrt [3] {\frac {1+x^3}{1-x^3}} \]

при |x| \not= 1.

Задача №859.
Найти производную функции

    \[ y= \frac {1}{\sqrt {1+x^2}(x+ \sqrt {1+x^2})} \]

Решение:
«Навесим» логарифмы на обе части уравнения и применим их свойства

    \[ \ln y = \ln 1 - \frac 12 \ln (1+x^2) - \ln (x+ \sqrt {1+x^2})) \]

    \[ \frac {y'}{y}= -\frac 12 \left( \frac {2x}{1+x^2} \right) - \frac {1+ \frac 12 \frac {2x} {\sqrt {1+x^2}}}{x+ \sqrt {1+x^2}} \]

    \[ \frac {y'}{y}= -\frac {x}{1+x^2}- \frac {\frac {\sqrt {1+x^2}+x}{\sqrt {1+x^2}}}{x+ \sqrt {1+x^2}} \]

    \[ \frac {y'}{y}= -\frac {x}{1+x^2} - \frac {1}{\sqrt {1+x^2}} \]

    \[ y'= -\frac {x+ \sqrt {1+x^2}}{1+x^2}\frac {1}{\sqrt {1+x^2}(x+ \sqrt {1+x^2})} \]

    \[ y'= -\frac {1}{(1+x^2)^{\frac 32}} \]

Задача №860.
Найти производную функции

    \[ y= \sqrt {x+ \sqrt {x+ \sqrt {x}}} \]

Решение:

    \[ \ln y = \frac 12 \ln (x+ \sqrt {x+ \sqrt {x}}) \]

    \[ \frac {y'}{y} = \frac 12 \frac {1+ \frac {1}{2 \sqrt {x+\sqrt {x}}}(1+\frac{1}{2\sqrt {x}}) }{x+ \sqrt {x+ \sqrt {x}}} \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac 12 \frac {2 \sqrt {x+ \sqrt {x}}+ \frac {2 \sqrt {x}+1}{2 \sqrt {x}} } {2 \sqrt {x+ \sqrt {x}}} \frac {1}{x+\sqrt {x+\sqrt {x}}}  \]

    \[ \frac {y'}{y}= \frac 12 \frac {2 \sqrt {x} 2 \sqrt {x+\sqrt{x}} + 2\sqrt {x}+1 }{2\sqrt {x} 2\sqrt{x+\sqrt {x}} (x+\sqrt {x+\sqrt {x}}) } \]

    \[ y'= \frac {4\sqrt {x} \sqrt {x+\sqrt {x}}+2\sqrt {x}+1 }{8\sqrt {x} \sqrt {x+\sqrt {x}}(x+\sqrt {x+\sqrt {x}})  } \sqrt {x+ \sqrt {x+\sqrt {x}}} \]

    \[ y'= \frac {4\sqrt {x} \sqrt {x+\sqrt {x}}+2\sqrt {x}+1 }{8\sqrt {x} \sqrt {x+\sqrt {x}} \sqrt{x+\sqrt {x+\sqrt {x}}}  } \]

при x>0.

Задача №862.
Найти производную функции

    \[ y= \cos 2x - 2 \sin x \]

Решение:

    \[ y'=-2 \sin 2x - 2 cos x = - 4 \sin x \cos x -2 cos x = -2 \cos x (1+2 \sin x)\]

Задача №863.
Найти производную функции

    \[ y= (2-x^2) \cos x + 2x \sin x \]

Решение:

    \[ y'=-2x \cos x - (2-x^2) \sin x + 2 \sin x + 2x \cos x =x^2 \sin x \]

Задача №864.
Найти производную функции

    \[ y= \sin ( \cos^2 x) \cos ( \sin^2 x) \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}   y'&= ( \sin ( \cos^2 x))' \cos ( \sin^2 x)+\sin ( \cos^2 x) (\cos ( \sin^2 x))'= \\ &=(\cos (\cos^2 x)2 \cos x(-sin x) )\cos ( \sin^2 x)+\sin ( \cos^2 x)(- \sin (\sin^2 x) 2 \sin x \cos x) =\\ &= -2 \cos x \sin x (\cos (\cos^2 x)\cos ( \sin^2 x)+\sin ( \cos^2 x)\sin (\sin^2 x)) =\\ &= - \sin 2x ( \cos (\cos^2 x - \sin^2 x)) = - \sin 2x \cos (\cos 2x) \end{split} \end{align*}

Задача №865.
Найти производную функции

    \[ y= \sin^n x \cos nx \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} y'&=(\sin^n x)' \cos nx+\sin^n x (\cos nx)'= n \sin^{n-1} x \cos x \cos nx+n \sin^n x (-\sin nx) =\\ &=n \sin^{n-1} x (\cos x \cos nx - \sin x \sin nx)=n \sin^{n-1} x \cos (1+n)x \end{split} \end{align*}

Задача №866.
Найти производную функции

    \[ y= \sin ( \sin (\sin x)) \]

Решение:

    \[ y'&= \cos ( \sin (\sin x)) \cos (\sin x) \cos x \]

Задача №867.
Найти производную функции

    \[ y= \frac {\sin^2 x}{\sin x^2} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} y'&= \frac {(\sin^2 x)'\sin x^2 - (\sin x^2)'\sin^2 x}{\sin^2 x^2}= \frac {2 \sin x \cos x \sin x^2 - 2x \cos x^2 \sin^2 x}{\sin^2 x^2}=\\ &= \frac {2 \sin x (\cos x \sin x^2 - x \cos x^2 \sin x)}{\sin^2 x^2} \end{split} \end{align*}

при x^2 \not = k \pi, k= 1, 2 ,...

Задача №868.
Найти производную функции

    \[ y= \frac {\cos x}{2 \sin^2 x} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&=\frac {(\cos x)' 2 \sin^2 x - \cos x (2 \sin^2 x)'}{4 \sin^4 x}= \frac {-2 \sin^3 x -4 \cos^2 x \sin x}{4 \sin^4 x} =\\ &= - \frac {\sin^2 x+2 \cos^2 x}{2 \sin^3 x} = -\frac {1- \cos^2 x + 2 \cos^2 x}{2 \sin^3 x} = -\frac {1+ \cos^2  x}{2 \sin^3 x} \end{split} \end{align*}

при x \not= k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, ...

Задача №869

    \[ y= \frac {1}{\cos^n x} \]

Решение:

    \[ y'= \frac {-n \cos^{n-1} x ( -\sin x)}{ \cos^{2n} x} = \frac {n \sin x }{\cos^{n+1} x} \]

где x \not= \frac {2k-1}{2} \pi, k- целое.

Задача №870

    \[ y= \frac {\sin x - x \cos x}{\cos x +x \sin x} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&= \frac {(\cos x-\cos x + x \sin x)(\cos x +x \sin x)-(\sin x -x \cos x)(-\sin x + \sin x +x \cos x)}{(\cos x+x \sin x)^2} =\\ &= \frac {x \sin x \cos x +x^2 \sin^2 x -x \sin x \cos x +x^2 \cos^2 x}{(\cos x+x \sin x)^2}=\frac {x^2}{(\cos x+x \sin x)^2} \end{split} \end{align*}

Задача №871

    \[ y= \tg \frac x2 - \ctg \frac x2 \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&= \frac 12 \frac {1}{\cos^2 \frac x2} - \frac 12 \frac {(-1)}{\sin^2 \frac x2}= \frac 12 \left(\frac{2}{1- \cos x} + \frac {2}{1+\cos x}\right) = \\ &= \frac {1+\cos x + 1 - \cos x}{1-\cos^2 x}= \frac {2}{\sin^2 x} \end{split} \end{align*}

где x \not= k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, ...

Задача №872

    \[ y= \tg x - \frac 13 \tg^3 x +\frac 15 \tg^5 x \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&= \frac {1}{\cos^2 x} - \frac 13 3 \tg^2 x \frac {1}{\cos^2 x} + \frac 15 5 \tg^4 x \frac {1}{\cos^2 x}= \frac {1}{\cos^2 x}(1-\tg^2x+\tg^4 x)=\\ &=(\tg^2 x+1)(1-\tg^2 x +\tg^4 x)=\tg^2 x-\tg^4 x+\tg^6 x+1-\tg^2 x +\tg^4 x=\\ &= \tg^6 x+1 \end{split} \end{align*}

где x \not= (2k+1)\frac {\pi}{2}, k=0, \pm 1, \pm 2, ...

Задача №873

    \[ y= 4 \sqrt [3]{\ctg^2 x} + \sqrt [3]{\ctg^8 x} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&= 4 \frac 13 (\ctg^2 x)^{-\frac 23} (-\frac {1}{\sin^2 x}) 2 \ctg x + \frac 13 (\ctg^8 x)^{-\frac 23} 8 \ctg^7 x (-\frac {1}{\sin^2 x})=\\ &= -\frac {8}{3 \sin^2 x}(\ctg^{-\frac 13} x+\ctg^{\frac 53} x)=-\frac {8}{3 \sin^2 x} (\frac {1}{\sqrt [3]{\ctg x}}+\sqrt [3]{ctg^5 x})=\\&=-\frac {8}{3 \sin^2 x} \frac{1+\ctg^2 x}{\sqrt [3]{\ctg x}}= -\frac {8}{3 \sin^4 x \sqrt [3]{\ctg x}} \end{split} \end{align*}

где x \not= k \pi, k - целое.

Задача №874

    \[ y= \sec^2 \frac xa +\cosec^2 \frac xa \]

Решение:

    \[ y=\frac {1}{\cos^2 \frac xa}+ \frac {1}{\sin^2 \frac xa}=\cos^{-2} \frac xa+ \sin^{-2} \frac xa \]

    \begin{align*} \begin{split}  y'&=- \frac2a \cos^{-3} \frac xa (-\sin \frac xa) - \frac 2a \sin^{-3} \frac xa \cos \frac xa=\\ &= \frac 2a \left( \frac {\sin \frac xa}{\cos^3 \frac xa}- \frac {\cos \frac xa}{\sin^3 \frac xa} \right)= \frac 2a \left(\frac{\sin^4 \frac xa -\cos^4 \frac xa}{\cos^3 \frac xa \sin^3 \frac xa} \right)=\\ &=\frac 2a \left(\frac {(1-\cos^2 \frac xa)^2-\cos^4 \frac xa}{\frac 88 \cos^3 \frac xa \sin^3 \frac xa}\right)=\frac {16}{a} \left(\frac {1-2 \cos^2 \frac xa}{(2 \cos \frac xa \sin \frac xa)^3} \right)=\\ &= \frac {16}{a} \left(\frac {\sin^2 \frac xa+\cos^2 \frac xa -2 \cos^2 \frac xa}{\sin^3 \frac {2x}{a}} \right)=\frac {16}{a} \left(\frac {\sin^2 \frac xa -\cos^2 \frac xa}{\sin^3 \frac {2x}{a}}\right)=\\ &= -\frac {16}{a} \frac {\cos \frac {2x}{a}}{\sin^3 \frac {2x}{a}} \end{split} \end{align*}

где x \not= \frac {k \pi a}{2}, k - целое.

Задача №875

    \[ y= \sin (\cos^2 (\tg^3 x)) \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&=\cos (\cos^2 (\tg^3 x)) 2 \cos (\tg^3 x) (-\sin (\tg^3 x)) 3\tg^2 x \frac {1}{\cos^2 x}=\\ &= -3 \tg^2 x \sec^2 x  \sin (2\tg^3 x) \cos (\cos^2 (\tg^3 x)) \end{split} \end{align*}

где x \not= \frac {\pi}{3}+k \pi, k - целое.

Задача №876.
Найти производную функции

    \[ y= e^{-x^2} \]

Решение:

    \[ y'=-2xe^{-x^2} \]

Задача №877.
Найти производную функции

    \[ y= 2^{ \tg \frac 1x} \]

Решение:

    \[ y'= 2^{ \tg \frac 1x} \frac {-\frac {1}{x^2}}{\cos^2 \frac 1x} \ln 2 \]

    \[ y'= -\frac {1}{x^2} \sec^2 \frac 1x 2^{ \tg \frac 1x} \ln 2 \]

Задача №878.
Найти производную функции

    \[ y= e^x (x^2-2x+2) \]

Решение:

    \[ y'= (e^x)' (x^2-2x+2)+e^x (x^2-2x+2)' \]

    \[ y'= e^x (x^2-2x+2) + e^x (2x-2) \]

    \[ y'=x^2 e^x  \]

Задача №879.
Найти производную функции

    \[ y= \left( \frac {1-x^2}{2} \sin x - \frac {(1-x)^2}{2} \cos x \right)e^{-x} \]

Решение:

    \[ y'= \left( \frac {1-x^2}{2} \sin x - \frac {(1-x)^2}{2} \cos x \right)'e^{-x} + \left( \frac {1-x^2}{2} \sin x - \frac {(1-x)^2}{2} \cos x \right)(e^{-x})' \]

    \begin{align*} \begin{split}   y'&= \left( - \frac {2x}{2} \sin x + \frac {1-x^2}{2} \cos x + \frac {2(1-x)}{2} \cos x + \frac {(1-x)^2}{2} \sin x \right)e^{-x} -\\ &- \left( \frac {1-x^2}{2} \sin x - \frac {(1-x)^2}{2} \cos x \right)e^{-x}  \end{split} \end{align*}

    \[ y'=e^{-x} \left( \sin x \left(-x + \frac {(1-x)^2}{2} - \frac {1-x^2}{2}\right) + \cos x \left(\frac {1-x^2}{2} + (1-x) + \frac {(1-x)^2}{2}\right) \right) \]

    \[ y'=e^{-x} \left( \sin x \frac {-2x +1 -2x +x^2 -1 +x^2}{2} + \cos x \frac {1-x^2+2-2x+1-2x+x^2}{2} \right) \]

    \[ y'=e^{-x} (\sin x (x^2-2x) + \cos x (2-2x)) \]

Задача №880

    \[ y= e^x (1+\ctg \frac x2) \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&=e^x (1+\ctg \frac x2)- \frac 12 e^x \frac {1}{\sin^2 \frac x2}=e^x \frac {2 \sin^2 \frac x2+2 \cos \frac x2 \sin \frac x2 -1}{2 \sin^2 \frac x2}=\\ &= e^x\frac {2 \sin^2 \frac x2+\sin x -1}{2 \sin^2 \frac x2}=e^x\frac {2 \sin^2 \frac x2+\sin x -\sin^2 \frac x2-\cos^2 \frac x2}{2 \sin^2 \frac x2}=\\ &= e^x \frac {\sin x - \cos x}{2 \sin^2 \frac x2} \end{split} \end{align*}

где x \not= 2k \pi, k - целое.

Задача №881

    \[ y= \frac {\ln 3 \sin  x +\cos x}{3^x} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&=\frac {(\ln 3 \sin  x +\cos x)'3^x-(3^x)'(\ln 3 \sin  x +\cos x)}{(3^x)^2}=\\ &= \frac {(\ln 3 \cos x-\sin x)3^x - 3^x \ln 3 (\ln 3 \sin  x +\cos x) }{3^{2x}}=\\ &= \frac {\ln 3 \cos x-\sin x - \ln^2 3 \sin x - \ln 3 \cos x}{3^x}= \\ &= -\frac {(1+\ln^2 3) \sin x}{3^x} \end{split} \end{align*}

Задача №882

    \[ y= e^{ax} \frac {a \sin bx-b \cos bx}{\sqrt {a^2+b^2}} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&=(e^{ax})' \frac {a\sin bx - b \cos bx}{\sqrt {a^2+b^2}} + e^{ax} \left(\frac {a\sin bx - b \cos bx}{\sqrt {a^2+b^2}} \right)'=\\ &= ae^{ax}\frac {a\sin bx - b \cos bx}{\sqrt {a^2+b^2}}+ e^{ax} \frac {ab \cos bx + b^2 \sin bx}{\sqrt {a^2+b^2}}=\\ &= \frac {e^{ax}}{\sqrt {a^2+b^2}} (a^2 \sin bx - ab \cos bx + ab \cos bx + b^2 \sin bx)=\\ &=\frac {e^{ax} (a^2+b^2) \sin bx }{\sqrt {a^2+b^2}} = e^{ax} \sqrt {a^2+b^2} \sin bx  \end{split} \end{align*}

Задача №883

    \[ y= e^x +e^{e^x}+ e^{e^{e^x}} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&= e^x +e^{e^x}e^x+e^{e^{e^x}}e^{e^x}e^x=e^x(1+e^{e^x}+e^{e^{e^x}}e^{e^x}) =\\ &= e^x(1+e^{e^x}(1+e^{e^{e^x}})) \end{split} \end{align*}

Задача №884

    \[ y= \left(\frac ab \right)^x  \left(\frac bx \right)^a  \left(\frac xa \right)^b, a>0, b>0 \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&=  \left(\ln \frac ab \left(   \frac ab \right)^x  \left(\frac bx \right)^a +  \left(\frac ab \right)^x a  \left(\frac bx \right)^{a-1} \left(- \frac {b}{x^2} \right) \right) \left(\frac xa \right)^b +  \left(\frac ab \right)^x  \left(\frac bx \right)^a \frac {b}{a}  \left(\frac xa \right)^{b-1} = \\ &= \left(\frac ab \right)^x \left(\frac bx \right)^a \left(\frac xa \right)^{b-1} \left(\left(\ln \frac ab- \frac ax \right)\left(\frac xa \right) + \frac ba \right) =\\ &=\left(\frac ab \right)^x \left(\frac bx \right)^a \left(\frac xa \right)^{b}  \left( \ln \frac ab -\frac ax + \frac bx \right)=\left(\frac ab \right)^x \left(\frac bx \right)^a \left(\frac xa \right)^{b} (\ln \frac ab - \frac {a-b}{x}) \end{split} \end{align*}

при x>0

Задача №885

    \[ y= x^{a^a}+a^{x^a}+a^{a^x}, a>0 \]

Решение:

    \[ y'=a^a x^{a^a-1}+ax^{a-1}a^{x^a}\ln a+a^x a^{a^x} \ln^2 a \]

Задача №886

    \[ y= \lg^3 x^2 \]

Решение:

    \[ y'=3 \lg^2 x^2 \frac {1}{x^2} 2x \lg e=\frac 6x \lg e \lg^2 x^2 \]

при x \not= 0

Задача №887

    \[ y= \ln(\ln(\ln x)) \]

Решение:

    \[ y'=\frac {1}{\ln(\ln x)} \frac {1}{\ln x} \frac 1x= \frac {1}{x \ln x \ln(\ln x)} \]

при x >e

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`