Задача №1040
Задача №1041
Задача №1042
Задача №1043
Задача №1044
Задача №1045
Задача №1046
Задача №1048
Задача №1049
Задача №1050
Задача №1051
Задача №1052
Задача №1053

Задача №1040. Найти производную функции, заданной параметрически

    \[ x= \sin^2 t, y= \cos^2 t \]

Решение:

    \[ \frac {dy}{dt}=-2\sin t \cos t,  \frac {dx}{dt}=2 \sin t \cos t  \]

    \[ \frac {dy}{dx}= \frac {-2\sin t \cos t}{2 \sin t \cos t}=-1 \]

при 0<x<1.

Задача №1041. Найти производную функции, заданной параметрически

    \[ x= a\cos t, y= b\sin t \]

Решение:

    \[ \frac {dx}{dt}=-a\sin t, \frac {dy}{dt}=b \cos t \]

    \[ \frac {dy}{dx}=\frac {b \cos t}{-a\sin t}=-\frac ba \ctg t \]

при 0<|t|<\pi.

Задача №1042. Найти производную функции, заданной параметрически

    \[ x= a\ch t, y= b\sh t \]

Решение:

    \[ \frac {dy}{dt}=  ,  \frac {dx}{dt}= \]

    \[ \frac {dy}{dx}=  \]

при 0<x<1.

Задача №1043. Найти производную функции, заданной параметрически

    \[ x= a\cos^3 t, y= a\sin^3 t \]

Решение:

    \[ \frac {dy}{dt}=3a \sin^2 t \cos t,  \frac {dx}{dt}=-3a \sin t \cos^2 t  \]

    \[ \frac {dy}{dx}= \frac {3a \sin^2 t \cos t}{-3a \sin t \cos^2 t}=-\tg t \]

при t \not= \frac {2k+1}{2} \pi, k- целое.

Задача №1044. Найти производную функции, заданной параметрически

    \[ x= a(t-\sin t), y= a(1-\cos t) \]

Решение:

    \[ \frac {dy}{dt}=a \sin t ,  \frac {dx}{dt}=a(1- \cos t)  \]

    \[ \frac {dy}{dx}= \frac {a \sin t}{a(1- \cos t)}=\ctg \frac t2 \]

при t \not= 2k \pi, k- целое.

Задача №1045. Найти производную функции, заданной параметрически

    \[ x= e^{2t} \cos^2 t, y= e^{2t} \sin^2 t \]

Решение:

    \[ \frac {dy}{dt}=2 e^{2t}\sin^2 t+2e^{2t} \sin t \cos t,  \frac {dx}{dt}=2e^{2t}\cos^2 t - 2e^{2t} \cos t \sin t  \]

    \[ \frac {dy}{dx}= \frac {2 e^{2t}\sin^2 t+2e^{2t} \sin t \cos t}{2e^{2t}\cos^2 t - 2e^{2t} \cos t \sin t}=\frac {\sin t \sqrt {2} \sin (t+ \frac {\pi}{40})}{\cos t \sqrt {2} \cos (t+ \frac {\pi}{40})} =\tg t \tg (t+ \frac {\pi}{4}) \]

при t \not= \frac {\pi}{4}+k \pi, t \not= \frac {\pi}{2}+k \pi.

Задача №1046. Найти производную функции, заданной параметрически

    \[ x= \arcsin \frac {t}{\sqrt {1+t^2}}, y=\arccos \frac {1}{\sqrt {1+t^2}} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  \frac {dy}{dt}&=2t \left( - \frac 12 (1+t^2)^{-\frac 32} \right) \left(- \frac {1}{-\sqrt {1- \frac {1}{1+t^2}}} \right) = \frac {t}{(1+t^2)^{\frac 32}} \frac {1}{\sqrt {\frac {1+t^2-1}{1+t^2}}} =\\ &= \frac {t}{(1+t^2)^{\frac 32} \sqrt {\frac {t^2}{1+t^2}}}= \frac {sgn t}{1+t^2}   \end{split} \end{align*}

    \[ \frac {dx}{dt}=\frac {\left( \sqrt {1+t^2}-\frac 12 \frac {2t^2}{\sqrt {1+t^2}} \right)}{1+t^2} \frac {1}{\sqrt {1- \frac {t^2}{1+t^2}}}=\frac {\frac {1}{\sqrt {1+t^2}}}{(1+t^2)\sqrt {\frac {1}{1+t^2}}} = \frac {1}{1+t^2} \]

    \[ \frac {dy}{dx}= \frac {\frac {sgn t}{1+t^2}}{\frac {1}{1+t^2}}= \sgn t \]

при 0<|t|< +\infty.

Задача №1048. Найти производную функции, заданной неявно

    \[ x^2+2xy-y^2=2x \]

Чему равно y' при x=2 и y=4 и при x=2 и y=0?
Решение:

    \[ 2x+2y+2xy'-2yy'=2 \]

    \[ y'(x-y)=1-x-y \]

    \[ y'=\frac {1-x-y}{x-y} \]

При x=2 и y=4 y'=\frac {1-2-4}{2-4}=\frac 52
При x=2 и y=0 y'=\frac {1-2-0}{2-0}= - \frac 12

Задача №1049. Найти производную функции, заданной неявно

    \[ y^2=2px \]

(парабола)
Решение:

    \[ 2yy'=2p, y'=\frac py \]

Задача №1050. Найти производную функции, заданной неявно

    \[ \frac {x^2}{a^2}+ \frac {y^2}{b^2}=1 \]

(эллипс)
Решение:

    \[ \frac {2x}{a^2}+ \frac {2yy'}{b^2}=0, y'= - \frac {2x}{a^2} \frac {b^2}{2y} = - \frac {xb^2}{ya^2} \]

Задача №1051. Найти производную функции, заданной неявно

    \[ \sqrt {x}+ \sqrt {y}= \sqrt {a} \]

(парабола)
Решение:

    \[ \frac {1}{2 \sqrt {x}} + \frac {y'}{2 \sqrt {y}}=0, y'=- \sqrt {\frac yx} \]

Задача №1052. Найти производную функции, заданной неявно

    \[ x^{\frac 23}+ y^{\frac 23}= a^{\frac 23} \]

(астроида)
Решение:

    \[ \frac 23 x^{- \frac 13}+ \frac 23 y^{- \frac 13} y'=0, y'= - \frac {x^{- \frac 13}}{y^{- \frac 13}}= - \sqrt [3] {\frac yx} \]

Задача №1053. Найти производную функции, заданной неявно

    \[ \arctg \frac yx = \ln \sqrt {x^2+y^2} \]

(логарифмическая спираль)
Решение:

    \[ \frac {1}{1+(\frac yx)^2} \frac {y'x-y}{x^2}= \frac {1}{\sqrt {x^2+y^2}} \frac {2x+2yy'}{2 \sqrt{x^2+y^2}} \]

    \[ \frac {x^2}{x^2+y^2} \frac {y'x-y}{x^2}=\frac {x+yy'}{x^2+y^2} \]

    \[ y'x-y=x+yy', y'(x-y)=x+y, y'=\frac {x+y}{x-y} \]

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`