Мы с вами уже узнали как находить производные обычных функций. Сегодня поговорим о производной функции, заданной параметрически и производной неявно заданной функции.
Если вы дружите с обычными производными, то ничего сложного в этом параграфе вы не увидите, а вот если у вас есть проблемы с дифференцированием, то советую для начала изучить темы Как найти производную , Производная сложной функции , Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции и спать спокойно.

Производная функции, заданной параметрически
Напомню, что параметрическая функция – это функция, заданная двумя уравнениями. Вот, например, функция

    \[ \begin{cases}  x=t^2+3t+8 \\  y= \cos t + 10t  \end{cases} \]

является параметрической, где t- это параметр, который может принимать любые значения.
Для нахождения производной функции, заданной параметрически, существует формула:

    \[ y'_x= \frac {y'_t}{x'_t} \]

То есть, чтобы найти производную y'_x нужно найти отдельно производную y'_t, производную x'_t и поделить одну на другую.
Для нашего примера решение будет выглядеть так:

    \[ y'_t=- \sin t +10,         x'_t=2t+3,       y'_x = \frac {10- \sin t}{2t+3} \]

Вот так все просто.
Посмотрим еще один пример.
Пример 1. Найти производную

    \[ \begin{cases}  x= ( \sin t)^2 \\  y= ( \cos t )^2  \end{cases} \]

Решение:

    \[ x'_t = 2 \sin t \cos t,        y'_t = -2 \cos t \sin t \]

    \[ y'_x=- \frac {2 \cos t \sin t}{2 \sin t \cos t}=-1  \]

Пример 2. Найти первую и вторую производную параметрической функции

    \[ \begin{cases}  x= \ln (1+t^2) \\  y= \arctg t  \end{cases} \]

Решение:
С первой производной все понятно

    \[ x'_t = \frac {2t}{1+t^2},     y'_t= \frac {1}{1+t^2},    y'_x = \frac {1}{2t} \]

Для нахождения производной второго порядка тоже существует своя формула:

    \[ y''_{xx} = \frac {(y'_x)'_t}{x'_t} \]

    \[ y''_{xx} = \frac {- \frac {1}{2t^2}}{\frac {2t}{1+t^2}}= - \frac {1+t^2}{4t^3} \]

Производная неявно заданной функции.
Для тех кто, еще не в теме, рассказываю, какая функция называется неявной.
Чаще всего встречаются обычные функции, заданные в явном виде. То есть функции, в которых y выражается через х в явном виде. Если говорить еще проще, то у стоит в левой части уравнения, а х в правой или уравнение можно привести к такому виду путем элементарных преобразований.
Но существуют и такие функции, в которых у и х как бы перемешаны и разделить их по разным сторонам от знака равно невозможно. Такие функции и носят название неявно заданных.
Вот пример такой функции

    \[ x^2+xy^3=2-y \]

У неявной функции тоже существуют производные. Эти-то производные нередко требуется найти. Ищутся они по одной схеме, то есть, как бы ни выглядела попавшаяся вам функция, заданная неявно, и какой бы сложной она ни была, метод нахождения ее производной будет один и тот же.
Давайте посмотрим на примере
Пример 3.
Найти производную от функции, заданной неявно

    \[ x^2+xy^3=2-y \]

1) Для начала навешиваем штрихи на обе части и применяем правила линейности производной

    \[ (x^2+xy^3)'=(2-y)' \]

    \[ (x^2)'+(xy^3)'=(2)'-(y)' \]

2) х является обычной переменной и дифференцируется по обычным правилам. С (y)' тоже все просто (y)'=y', а вот y^3 является сложной функцией. Поэтому производная должна находится по правилу дифференцирования сложной функции /[ (u(v))^’=u'(v)v’ \]
Здесь внешняя функция – степень, внутренняя — у, но у, в свою очередь, тоже является сложной функцией, так как зависит от х. Производная y^3 будет равна:

    \[ (y^3)'=3y^2y' \]

    \[ 2x+y^3+3xy^2y'=-y' \]

3) Теперь в левую часть переносим все слагаемые, содержащие y', а в правую – все остальные

    \[ 3xy^2y'+y'=-2x-y^3 \]

4) Выражаем y'

    \[ y'=-(2x+y^3)/(3xy^2+1) \]

Производная готова.
Посмотрим еще несколько примеров
Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно

    \[ x^2+2xy-y^2=2x \]

Чему равно y' при x=2 и y=4 и при x=2 и y=0?
Решение:

    \[ 2x+2y+2xy'-2yy'=2 \]

    \[ y'(x-y)=1-x-y \]

    \[ y'=\frac {1-x-y}{x-y} \]

При x=2 и y=4 y'=\frac {1-2-4}{2-4}=\frac 52
При x=2 и y=0 y'=\frac {1-2-0}{2-0}= - \frac 12

Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно

    \[ \arctg \frac yx = \ln \sqrt {x^2+y^2} \]

(логарифмическая спираль)
Решение:

    \[ \frac {1}{1+(\frac yx)^2} \frac {y'x-y}{x^2}= \frac {1}{\sqrt {x^2+y^2}} \frac {2x+2yy'}{2 \sqrt{x^2+y^2}} \]

    \[ \frac {x^2}{x^2+y^2} \frac {y'x-y}{x^2}=\frac {x+yy'}{x^2+y^2} \]

    \[ y'x-y=x+yy', y'(x-y)=x+y, y'=\frac {x+y}{x-y} \]

А если по какой-либо причине у Вас не получается решить задачу самостоятельно, Вы можете заказать решение у нас. Стоимость решения одной задачи на проценты из школьного курса — 10 руб.

Все права защищены © 2014 вматематике.рф

`