.

 

1. Вычислить интеграл .

Решение:

2. Доказать равенство , где a>0 и b>0, если известно, что интеграл в левой части сходится.

Решение:

Обозначим и заменим , предварительно представив I в виде суммы  I = I1 + I2, где

После проведения замены получим

Примем в интеграле , имеем

Равенство доказано.

3. Известно, что функция f имеет конечную производную f’ в каждой точке конечного или бесконечного интервала ]a, b[ и . Нужно доказать, что f’(c) = 0, где c — некоторая точка интервала ]a, b[.
Решение:

Предположим, что интервал ]a, b[ конечен и , где C — константа. Рассмотрим функцию

Она непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную производную на интервале ]a, b[, причем F(a) = F(b). По теореме Ролля на интервале ]a, b[ найдется такая точка c, что F’(c) = f’(c) = 0.

Если интервал ]a, b[ бесконечный, то, в силу существования конечной производной функции f, непрерывности функции f и существования конечных, равных между собой, ее предельных значений при xa + 0 и xb — 0, при достаточно малом ε > 0 прямая y = C + ε или прямая y = C -ε пересечет кривую y = f(x), по меньшей мере, в двух точках, которые обозначены c1 и c2. Для функции f на сегменте [c1, c2] выполнены все условия теоремы Ролля, поэтому на интервале ]c1, c2[ (а значит, и на интервале ]a, b[ ) найдется такая точка c, что f’(c) = 0.

Рассмотрим теперь случай, когда . Тогда как в случае конечного, так и бесконечного интервала ]a, b[ уравнение f(x) =A (где A > 0 — любое число, фиксированное, когда ) или уравнение f(x) = -A (в случае, когда ) всегда имеет два различных корня, которые обозначим α1 и α2. Применяя теорему Ролля к функции f на сегменте [α1, α2], приходим к выводу, что на интервале ]α1, α2[ (а значит, и на ]a, b[ ) существует, по меньшей мере, одна такая точка c, что f’(c) = 0.

4. Написать уравнение окружности с центром в точке C(2, -3) и радиусом, равным 6.

Решение:

По уравнению

(xa)2 + (yb)2 = r2,

полагая в нем a = 2, b = -3, r = 6, сразу имеем (x — 2)2 + (y + 3)2 = 36, или x2 + y2 — 4x + 6y — 23 = 0.

5. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 4x2 + 9y2 = 144.

Решение:

Преобразуем это уравнение к простейшему виду . Разделив обе части заданного уравнения на 144, получим .

Отсюда заключаем, что a2 = 36, b2 = 16. Значит, a = 6, 2a = 12; b = 4, 2b = 8. Зная a и b, из соотношения a2c2 = b2 найдем c. Подставим a = 6; b= 4 и получим, что . Координаты фокусов будут и . Эксцентриситет эллипса

6. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, образованного прямой 3xy + 6 = 0 и осями координат.

Решение:

Пусть дан ΔAOB найдем координаты его вершин: O(0; 0), A(-2; 0), B(0; 6). ΔAOB — прямоугольный, так как оси координат перпендикулярны; поэтому центр окружности, описанный около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на два равных отрезка. Следовательно, радиус окружности равен , а центр имеет координаты или (-1; 3). Тогда уравнение окружности имеет вид (x + 1)2 + (y — 3)2 = 10.

7. Найти прямоугольные координаты точки, полярные координаты которой A(-3, 5π/4).
Решение:

8. При каких значениях α и β вектор перпендикулярен вектору , если ?

Решение:

Так как , то ; откуда β = ±2. Векторы и перпендикулярны, тогда, когда , т. е. 3·2 + (-1)·β + α·1 = 0; откуда α = β — 6.

При β = 2, имеем α = 2 — 6 = -4; при β = -2, имеем α = -2 — 6 = -8.

9. Треугольник разбит медианами на шесть частей, не имеющих попарно общих внутренних точек. Сравнить площади этих частей.

Решение:

Обозначим точку M — точку пересечения медиан AM1, BM2, CM3 треугольника ABC (см. рисунок).

В ΔAMC MM2 — медиана; поэтому

SΔAMM2 = SΔCMM2. (1)

Аналогично

SΔAMM3 = SΔBMM3, (2)

SΔBMM1 = SΔCMM1. (3)

Далее имеем SΔABM2 = SΔBCM2 (BM2 — медиана); откуда в силу (1) получаем, что SΔABM = SΔBCM. Используя равенства (2) и (3), из последнего равенства имеем SΔBMM3 = SΔBMM1.

Аналогично получим, что SΔСMM1 = SΔСMM2 и SΔAMM2 = SΔAMM3.

Следовательно, части равновелики.

10. Пусть дифференцируемая функция φ такова, что f(φ(t)) = t на [t0, t1], где f — дифференцируемая функция и не равна нулю. Найти .

Решение:

Поскольку функции f и φ дифференцируемы, то сложная функция fφ также дифференцируема и

.

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`