.

Друзья, сегодня будем учиться решать пределы. Тема довольна сложная и плохоусвояемая, но «где наша не пропадала». Постараюсь изложить ее как можно проще и доступнее.
Что же такое предел функции? Если обратиться к учебникам по математическому анализу, то можно обнаружить следующее «заумное» определение:
Предел функции в точке. Пусть функция f(x) определена на множестве X=\{ x \}, имеющем точку сгущения a. Запись

    \[ \lim_{x\rightarrow a} f(x)=A \]

обозначает, что для каждого числа \varepsilon >0 существует число \delta = \delta (\varepsilon)>0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0<|x-a|<\delta, справедливо неравенство

    \[ |f(x)-A|<\varepsilon \]

.
Если вы его не поняли – не расстраивайтесь, вы не одиноки, с вами большинство студентов нематематических специальностей.
Так как же найти предел функции? Будем разбираться на практике. Начнем с записи предела функции.
Пример 1.

    \[ \lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac 1x \right)  \]

Здесь есть 3 обязательных составляющих – это, непосредственно, символ предела ( \lim ), функция, предел которой нужно найти (1+\frac 1x) и точка, в которой требуется вычислить предел (x \to \infty). Запись без какого-либо из этих элементов смысла не имеет. Довольно распространенной ошибкой среди студентов является потеря точки, в которой нужно вычислить предел:

    \[ \lim \left( 1+\frac 1x \right)  \]

Еще раз повторю, что данная запись смысла не имеет.
Так что же нужно сделать, чтобы предел найти?
Для того, чтобы посчитать предел функции в какой-либо точке, нужно подставить эту самую точку в функцию и посмотреть что получится. Вариантов не много: либо предел сразу же посчитается (это самый простой случай, но и он иногда встречается на практике), либо у вас возникнет неопределенность одного из следующих видов \frac 00, \frac {\infty}{\infty}.
Посчитаем наш пример
Решение:

    \[ \lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac 1x \right) =1+\frac {1}{\infty}=1 \]

А теперь подробно разберемся что произошло. Запись вида x \to \infty означает, что x принимает настолько большие значения, которые нам даже и не снились. Наглядно это можно представить с помощью последовательности

    \begin{align*} \begin{split}  x=1000,& x=10000, x=100000, x=1000000, x=10000000,\\ & x=100000000, x=1000000000, \dots, \\ &x=10000000000000000000000000000000000000000000000000,\dots. \end{split} \end{align*}

Подставляем x в дробь и смотрим как эта самая дробь будет вести себя при очень больших значениях x. Очевидно, что дробь будет стремиться к 0. А 1+0 сами знаете чему равно.
Еще один простенький пример предела
Пример 2.

    \[ \lim_{x\to 2} \frac {2x^2+3}{x} \]

Решение:
Подставляем x=2 в функцию и считаем

    \[ \lim_{x\to 2} \frac {2x^2+3}{x}=\frac {2*2^2+3}{2}=\frac {11}{2} \]

Но, к сожалению, пределы, которые решаются одной подстановкой – это редкость. Чаще всего подстановка приводит к возникновению какой-либо неопределенности. Но и в этом случае не стоит паниковать, великие умы человечества уже давно выработали алгоритм действий в той или иной ситуации.

Неопределенность вида \frac {\infty}{\infty}.
Пример 3.

    \[ \lim_{x\to \infty} \frac {x^2+2x-1}{2x^2-3x-2} \]

Решение:
Несложно увидеть, что подставив в функцию бесконечность получим неопределенность вида \frac {\infty}{\infty}.
Правило: Чтобы избавиться от неопределенности вида \frac {\infty}{\infty}, нужно числитель и знаменатель разделить на x в старшей степени.
В этом примере старшей и в числителе и в знаменателе является вторая степень, на x^2 и делим.

    \[ \lim_{ x \to \infty} \frac {1+\frac 2x-\frac {1}{x^2}}{2-\frac 3x-\frac {2}{x^2}} \]

В числителе и знаменателе основной дроби получили сумму мелких «поддробей», в числителе у которых находится число, а в знаменателе бесконечность, а значит, сами эти дроби стремиться к нулю. Теперь несложно посчитать, что предел нашей функции =\frac 12.
И еще один пример
Пример 4.

    \[ \lim_{x\to \infty} \frac {3x^2+2x+5}{x^3+4x^2+1} \]

Решение:
В этом случае в числителе старшей степенью является 2, а в знаменателе 3. Нас интересует наибольшая степень, на нее-то мы и делим и числитель и знаменатель.

    \[ \lim_{x\to \infty} \frac {\frac 3x+\frac {2}{x^2} + \frac {5}{x^3} }{1+\frac 4x+\frac {1}{x^3} } \]

Все полученные дроби имеют x в знаменателе и число в числителе, а значит, стремятся к 0. Получаем

    \[ \lim_{x\to \infty} \frac {\frac 3x+\frac {2}{x^2} + \frac {5}{x^3} }{1+\frac 4x+\frac {1}{x^3} }=\frac 01=0 \]

Неопределенность вида \frac 00.
Пример 5.

    \[ \lim_{x\to 1} \frac {x^2-1}{2x^2-x-1} \]

Подставляем единицу в функцию, убеждаемся в наличии неопределенности \frac 00.
Правило: Чтобы избавиться от неопределенности вида \frac 00 в функции, у которой в числителе и знаменателе находятся многочлены, нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Ну что же, действуем…
В числителе имеем разность квадратов, которая сразу распадается на 2 скобки. А в знаменателе чтобы разложить на множители, придется посчитать дискриминант и найти корни уравнения 2x^2-x-1=0

    \[ D=1+8=9 \]

    \[ x_1=\frac {1+3}{4}=1, x_2=\frac {1-3}{4}=-\frac 12 \]

В итоге получаем

    \[ \lim_{x \to 1} \frac {(x-1)(x+1)}{2(x-1)(x+\frac 12)}=\lim_{x \to 1} \frac {x+1}{2x+1}=\frac 23 \]

Другой вид пределов с неопределенностью \frac 00 – это когда функция, предел которой нужно найти, содержит корни.
Пример 6.

    \[ \lim_{x \to 4} \frac {\sqrt {1+2x}-3}{\sqrt {x}-2} \]

Решение:
Подставив в функцию x=4, убеждаемся в наличие неопределенности \frac 00.
Правило: Чтобы избавиться от неопределенности \frac 00 в функциях с корнями, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Для тех кто не знает или забыл напомню, что сопряженным называется выражение с противоположным знаком. Т.е. для скобки (\sqrt {1+2x}-3) сопряженной будет являться скобка (\sqrt {1+2x}+3).

    \begin{align*} \begin{split}  \lim_{x \to 4} \frac {(\sqrt {1+2x}-3)(\sqrt {1+2x}+3)}{(\sqrt {x}-2)(\sqrt {1+2x}+3)} \end{split} \end{align*}

В числителе получили развернутую форму разности квадратов, можем собрать ее и тем самым избавиться от корня в числителе.

    \[ \lim_{x \to 4} \frac {1+2x-9}{(\sqrt {x}-2)(\sqrt {1+2x}+3)} \]

В знаменателе теперь получили два корня вместо одного и, на первый взгляд, задачу даже усложнили. Но это не так, поскольку одна из скобок у нас содержит сумму (\sqrt {1+2x}+3), а значит если мы подставим в нее нашу точку, она уже не даст нам 0. Подставляем

    \[ \lim_{x \to 4} \frac {1+2x-9}{(\sqrt {x}-2)*6} \]

Число можно и нужно вынести за знак предела

    \[ \frac 16 \lim_{x \to 4} \frac {2x-8}{\sqrt {x}-2} \]

Подставив еще раз x \to 4 в функцию, получившуюся под пределом, увидим что неопределенность \frac 00 сохранилась. Смотрим как еще мы можем преобразовать наше выражение. Если вынести 2-ку из числителя за знак предела, то можно увидеть, что в числителе у нас стоит разность квадратов, распишем ее:

    \[ \frac 16 *2 \lim_{x \to 4} \frac {(\sqrt {x}-2)(\sqrt {x}+2)}{\sqrt {x}-2}= \frac 43  \]

Большое количество примеров на нахождение пределов вы можете найти на странице Предел функции (Антидемидович) .
В следующий раз узнаем с вами что такое первый и второй замечательные пределы. А за тем вам следует ознакомиться с темой Правила Лопиталя. Примеры решения, чтобы убрать последние пробелы в умении решать пределы.

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`