.

Задача №411
Задача №412
Задача №413
Задача №418
Задача №438
Задача №439
Задача №440
Задача №441
Задача №442
Задача №443
Задача №444
Задача №445
Задача №446
Задача №447
Задача №448
Задача №449

Задача №411. Найти предел функции
a)

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {x^2-1}{2x^2-x-1} \]

Решение:

    \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac {x^2-1}{2x^2-x-1} = \frac {-1}{-1}=1 \]

b)

    \[ \lim_{x\rightarrow 1}\frac {x^2-1}{2x^2-x-1} \]

Решение:

    \[ \lim_{x\rightarrow 1}\frac {x^2-1}{2x^2-x-1}=\lim_{x\rightarrow 1} \frac {(x-1)(x+1)}{(2x+1)(x-1)}=\frac 23 \]

c)

    \[ \lim_{x\rightarrow \infty} \frac {x^2-1}{2x^2-x-1} \]

Решение:

    \[ \lim_{x\rightarrow \infty} \frac {x^2-1}{2x^2-x-1}=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac {1-\frac {1}{x^2}}{2-\frac 1x-\frac {1}{x^2}}=\frac 12 \]

Задача №412. Найти предел функции

    \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac {(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x} \]

Решение:

    \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac {(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}= \lim_{x\rightarrow 0} \frac {1+6x+11x^2+6x^3-1}{x}= \lim_{x\rightarrow 0} (6+11x+6x^2)=6 \]

Задача №413. Найти предел функции

    \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac {(1+x)^5 -(1+5x)}{x^2+x^5} \]

Решение:

    \[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac {(1+x)^5 -(1+5x)}{x^2+x^5}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac {x^5+5x^4+10x^3+10x^2}{x^2+x^5}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac {x^3+5x^2+10x+10}{1+x^3}=10 \]

Задача №418. Найти предел функции

    \[ \lim_{x\rightarrow 3} \frac {x^2-5x+6}{x^2-8x+15} \]

Решение:

    \[ \lim_{x\rightarrow 3} \frac {x^2-5x+6}{x^2-8x+15}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac {(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-5)}= \lim_{x\rightarrow 3} \frac {x-2}{x-5}= -\frac 12 \]

Задача №438. Найти предел

    \[ \lim_{x \to -8} \frac{\sqrt {1-x}-3}{2+\sqrt [3]{x}} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \lim_{x \to -8} \frac{\sqrt {1-x}-3}{2+\sqrt [3]{x}}&= \lim_{x \to -8} \frac {(\sqrt {1-x}-3)(\sqrt {1-x}+3)}{(2+\sqrt [3]{x})(\sqrt {1-x}+3)}= \lim_{x \to -8} \frac {1-x-9}{(2+\sqrt [3]{x})(3+3)}=\\ &= -\frac 16 \lim_{x \to -8} \frac {x+8}{2+\sqrt [3]{x}}=- \frac 16 \lim_{x \to -8} \frac {(2+\sqrt [3]{x})((\sqrt [3]{x})^2-2\sqrt [3]{x}+4)}{2+\sqrt [3]{x}}=\\ &=-\frac 16 \lim_{x \to -8 } ((\sqrt [3]{x})^2-2\sqrt [3]{x}+4) = -\frac 16 (4+4+4)=-2 \end{split} \end{align*}

Задача №439. Найти предел

    \[ \lim_{x \to a} \frac {\sqrt {x}-\sqrt {a}+\sqrt {x-a}}{\sqrt {x^2-a^2}} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \lim_{x \to a} \frac {\sqrt {x}-\sqrt {a}+\sqrt {x-a}}{\sqrt {x^2-a^2}} &= \lim_{x \to a} \left[ \frac {\sqrt {x}-\sqrt {a}}{\sqrt {x^2-a^2}}+\frac {1}{\sqrt {x+a}} \right] =\\ &= \lim_{x \to a} \left[ \frac {(\sqrt {x}-\sqrt {a})(\sqrt {x}+\sqrt {a})}{\sqrt {x^2-a^2}(\sqrt {x}+\sqrt {a})}+\frac {1}{\sqrt {2a}} \right]=\\ &= \lim_{x \to a} \left[ \frac {x-a}{\sqrt {x^2-a^2}(\sqrt {x}+\sqrt {a})}+\frac {1}{\sqrt {2a}} \right] =\\ &= \lim_{x \to a} \left[ \frac {\sqrt {x-a}}{\sqrt {x+a}(\sqrt {x}+\sqrt {a})}+\frac {1}{\sqrt {2a}} \right]=\\ &= \lim_{x \to a} \left[ \frac {\sqrt {x-a}}{\sqrt {2a} *2 \sqrt {a}}+\frac {1}{\sqrt {2a}} \right] =\\ &= \frac {1}{\sqrt {2a}} \lim_{x \to a} \left[ \frac {\sqrt {x-a}}{2 \sqrt {a}}+1 \right] = \frac {1}{\sqrt {2a}} \end{split} \end{align*}

Задача №440. Найти предел

    \[ \lim_{x \to 3} \frac {\sqrt {x+13}-2 \sqrt {x+1}}{x^2-9} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \lim_{x \to 3} \frac {\sqrt {x+13}-2 \sqrt {x+1}}{x^2-9} &= \lim_{x \to 3} \frac {(\sqrt {x+13}-2 \sqrt {x+1})(\sqrt {x+13}+2 \sqrt {x+1})}{(x^2-9)(\sqrt {x+13}+2 \sqrt {x+1})} =\\ &= \lim_{x \to 3} \frac {9-3x}{(x^2-9)(\sqrt {x+13}+2 \sqrt {x+1})} =\\ &= -3 \lim_{x \to 3} \frac {x-3}{(x-3)(x+3)(\sqrt {16}+4)} = - \frac {1}{16} \end{split} \end{align*}

Задача №441. Найти предел

    \[ \lim_{x \to -2} \frac {\sqrt [3]{x-6}+2}{x^3+8}  \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \lim_{x \to -2} \frac {\sqrt [3]{x-6}+2}{x^3+8} &= \lim_{x \to -2} \frac {(\sqrt [3]{x-6}+2)((\sqrt [3]{x-6})^2-2 \sqrt [3]{x-6}+4)}{(x^3+8)((\sqrt [3]{x-6})^2-2 \sqrt [3]{x-6}+4)} =\\ &= \lim_{x \to -2} \frac {x+2}{(x+2)(x^2-2x+4)((\sqrt [3]{x-6})^2-2 \sqrt [3]{x-6}+4)} =\\ &= \frac {1}{12 (4+4+4)} = \frac {1}{144}  \end{split} \end{align*}

Задача №442. Найти предел

    \[ \lim_{x \to 16} \frac {\sqrt [4]{x}-2}{\sqrt {x}-4} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \lim_{x \to 16} \frac {\sqrt [4]{x}-2}{\sqrt {x}-4} &= \lim_{x \to 16} \frac {\sqrt [4]{x}-2}{(\sqrt [4]{x}-2)(\sqrt [4]{x}+2)} = \frac 14 \end{split} \end{align*}

Задача №443. Найти предел

    \[ \lim_{x \to 8} \frac {\sqrt {9+2x}-5}{\sqrt [3]{x}-2} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \lim_{x \to 8} \frac {\sqrt {9+2x}-5}{\sqrt [3]{x}-2} &= \lim_{x \to 8} \frac {(\sqrt {9+2x}-5)(\sqrt {9+2x}+5)}{(\sqrt [3]{x}-2)(\sqrt {9+2x}+5)} = \lim_{x \to 8} \frac {2x-16}{10(\sqrt [3]{x}-2)} =\\ &= \frac 15 \lim_{x \to 8} \frac {x-8}{\sqrt [3]{x}-2} = \frac 15 \lim_{x \to 8} \frac {(\sqrt [3]{x}-2)((\sqrt [3]{x})^2+2 \sqrt [3]{x}+4)}{\sqrt [3]{x}-2} =\\ &= \frac 15 (4+4+4) = \frac {12}{5} \end{split} \end{align*}

Задача №444. Найти предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt [n]{1+x}-1}{x} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt [n]{1+x}-1}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac {(\sqrt [n]{1+x}-1)(\sqrt [n]{1+x}+1)}{x(\sqrt [n]{1+x}+1)} =\\ &= \lim_{x \to 0} \frac {((\sqrt [n]{1+x})^2-1)((\sqrt [n]{1+x})^2+1)}{2x((\sqrt [n]{1+x})^2+1)} = \dots = \lim_{x \to 0} \frac {(\sqrt [n]{1+x})^n-1}{nx}= \frac 1n \end{split} \end{align*}

Задача №445. Найти предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt {1-2x-x^2}-(1+x)}{x} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt {1-2x-x^2}-(1+x)}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac {(\sqrt {1-2x-x^2}-(1+x))(\sqrt {1-2x-x^2}+1+x)}{x(\sqrt {1-2x-x^2}+1+x)} =\\ &= \lim_{x \to 0} \frac {1-2x-x^2-1-2x-x^2}{x(\sqrt {1-2x-x^2}+1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac {-2x^2-4x}{2x} =\\ &= - \lim_{x \to 0} (x+2) = -2 \end{split} \end{align*}

Задача №446. Найти предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt [3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt [3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac {(\sqrt [3]{8+3x-x^2}-2)((\sqrt [3]{8+3x-x^2})^2+2 \sqrt [3]{8+3x-x^2} +4)}{x(1+x)((\sqrt [3]{8+3x-x^2})^2+2 \sqrt [3]{8+3x-x^2} +4)} =\\ &= \lim_{x \to 0} \frac {8+3x-x^2-8}{x(x+1)(4+4+4)}= \frac {1}{12} \lim_{x \to 0} \frac {3-x}{1+x} = \frac 14 \end{split} \end{align*}

Задача №447. Найти предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt [3]{27+x}-\sqrt [3]{27-x}}{x+2 \sqrt [3]{x^4}} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} & \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt [3]{27+x}-\sqrt [3]{27-x}}{x+2 \sqrt [3]{x^4}} = \\ &= \lim_{x \to 0} \frac {(\sqrt [3]{27+x}-\sqrt [3]{27-x})((\sqrt [3]{27+x})^2+\sqrt [3]{27^2-x^2}+(\sqrt [3]{27-x})^2)}{x(1+2\sqrt [3]{x})((\sqrt [3]{27+x})^2+\sqrt [3]{27^2-x^2}+(\sqrt [3]{27-x})^2)} =\\ &= \lim_{x \to 0} \frac {27+x-27+x}{x(1+2 \sqrt [3]{x})(9+9+9)} = \frac {1}{27} \lim_{x \to 0} \frac {2}{1+2 \sqrt [3]{x}} = \frac {2}{27} \end{split} \end{align*}

Задача №448. Найти предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt {1+x}-\sqrt {1-x}}{\sqrt [3]{1+x}- \sqrt [3]{1-x}} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt {1+x}-\sqrt {1-x}}{\sqrt [3]{1+x}- \sqrt [3]{1-x}} &= \lim_{x \to 0} \frac {(\sqrt {1+x}-\sqrt {1-x})((\sqrt [3]{1+x})^2+ \sqrt [3]{1-x^2}+ (\sqrt [3]{1-x})^2)}{(\sqrt [3]{1+x}- \sqrt [3]{1-x})((\sqrt [3]{1+x})^2+ \sqrt [3]{1-x^2}+ (\sqrt [3]{1-x})^2)} =\\ &= \lim_{x \to 0} \frac {3(\sqrt {1+x}-\sqrt {1-x})}{1+x-1+x} =\\ &= \frac 32 \lim_{x \to 0} \frac {(\sqrt {1+x}-\sqrt {1-x})(\sqrt {1+x}+\sqrt {1-x})}{x(\sqrt {1+x}+\sqrt {1-x})} =\\ &= 3 \lim_{x \to 0} \frac {1}{(\sqrt {1+x}+\sqrt {1-x})} = \frac 32 \end{split} \end{align*}

Задача №449. Найти предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sqrt {x+2}-\sqrt [3]{x+20}}{\sqrt [4]{x+9}-2} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split} \end{split} \end{align*}

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`