Правила Лопиталя – самый действенный метод нахождения пределов, который позволяет легко избавляться от неопределенностей вида \frac 00 и \frac {\infty}{\infty}. Эти правила настолько действенные, что очень часто в учебниках и на экзаменах встречаются формулировки заданий типа: «вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя». Это формулировка подразумевает, что вы можете считать предел любым способом, описанным в разделах Предел функции, Первый и второй замечательные пределы (примеры решения пределов различными способами можно найти на странице Предел функции, примеры). Но знать эти правила необходимо, ведь с помощью них несложно проверить правильно ли вы решили предел любым другим способом, который хочет видеть ваш преподаватель.

Так вот, теперь о самих правилах. Их всего два и они очень похожи.

Первое правило Лопиталя.

Рассмотрим функции f(x), g(x) ,которые бесконечно малы в некоторой точке k. Если существует предел их отношений \lim_{x \to k} \frac {f(x)}{g(x)} , то в целях устранения неопределённости \frac 00 можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом: \lim_{x \to k} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to k} \frac {f'(x)}{g'(x)}, то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.
Предел lim_{x \to k} \frac {f'(x)}{g'(x)} тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.

Теперь посмотрим что это мы тут написали.
Правило гласит, что чтобы избавиться от неопределенности \frac 00 можно посчитать производную отдельно от числителя, отдельно от знаменателя и заменить ими первоначальную функцию. Эта нехитрая манипуляция позволит без труда найти предел.
Стоит так же отметить, что k может быть совершенно любым числом, в том числе и бесконечностью.

Пример 1.

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\arcsin 3x}{6x} \]

Решение:
Подставим x=0 в функцию, получаем неопределенность \frac 00.
Посчитаем производные отдельно от числителя и отдельно от знаменателя:

    \[ f'(x)= \frac {3}{\sqrt {1-x^2}},   g'(x)=6 \]

Подставляем производные в предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {3}{6 \sqrt {1-x^2}}= \frac 12 \lim_{x \to 0} \frac {1}{\sqrt {1-x^2}} \]

Теперь можно подставить x=0 и убедиться, что мы избавились от неопределенности.

    \[ \frac 12 \lim_{x \to 0} \frac {1}{\sqrt {1-x^2}}= \frac 12 \]

Иногда встречаются примеры, когда единоразовое применение правила Лопиталя не помогает. Следует знать, что манипуляцию с нахождением производной можно провести несколько раз, пока неопределенность таки не уйдет.

Пример 2. Вычислить предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {1- \cos x}{x \sin x} \]

Решение:

    \[ f'(x)= \sin x,  g'(x)= \sin x+x \cos x \]

Подставляем производные в предел и убеждаемся, что неопределенность не ушла.
Дифференцируем числитель и знаменатель еще раз:

    \[ f''(x)= \cos x,   g''(x)=\cos x+ \cos x-x \sin x \]

Подставляем в предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\cos x}{2 \cos x-x \sin x}=\frac 12 \]

Основная сложность в применении правила Лопиталя – это умение находить производную. Если вы еще не дружите с производными, вам стоить посетить страницы Как найти производную , Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции., Производная сложной функции, Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде. Примеры., Производная явной функции. Примеры.

Второе правило Лопиталя.

Выглядит оно аналогично, но применяется для избавления от неопределенности \frac {\infty}{\infty}.
Если существует предел отношения бесконечно больших в точке k функций: \lim_{x \to k} \frac {f(x)}{g(x)} , то в целях устранения неопределённости \frac {\infty}{\infty} можно взять две производные – отдельно от числителя и отдельно от знаменателя. При этом: \lim_{x \to k} \frac {f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to k} \frac {f'(x)}{g'(x)} , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.
Предел \lim_{x \to k} \frac {f'(x)}{g'(x)} должен существовать
Здесь k так же может быть любым, в том числе и бесконечностью.

Для начала посмотрим простой пример
Пример 3. Вычислить предел

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac {3x^2-1}{5x} \]

Решение:

    \[ f'(x)=6x,   g'(x)=5 \]

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac {6x}{5}= \infty \]

Теперь разберем пример посложнее

Пример 4. Вычислить предел

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac {\ln x}{x^e} \]

Решение:

    \[ f'(x)=\frac 1x,   g'(x)=ex^{e-1} \]

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac {1}{ex}=0 \]

Вот так вот просто и быстро. Чтобы решить данный предел другим способом, придется хорошенько попотеть.

Стоит отметить, что несмотря на то, что правила Лопиталя можно применять для проверки правильности нахождения производной другими методами, делать это не всегда целесообразно. Вот например

Пример 5. Вычислить предел

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac {5x^3+6x^2+8}{4x^4+6x^2+2} \]

Решение:
В данном случае, чтобы избавиться от неопределенности \frac {\infty}{\infty} можно разделить числитель и знаменатель на x^4. Все дроби получатся стремящимися к 0. И мы быстро приходим к ответу.

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac {5x^3+6x^2+8}{4x^4+6x^2+2}= \lim_{x \to \infty} \frac { \frac 5x + \frac {6}{x^2} + \frac {8}{x^4}}{4+ \frac {6}{x^2}+\frac {2}{x^4}}=0 \]

По правилу Лопиталя решение будет намного дольше.
Найдем производные:

    \[ f'(x)=15x^2+12x,   g'(x)=16^3+12x \]

Подставляем в предел, сокращаем x

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac {15x^2+12x}{16x^3+12x}= \lim_{x \to \infty} \frac {15x+12}{16x^2+12} \]

Несложно заметить, что от неопределенности мы не избавились.
Дифференцируем еще раз

    \[ f''(x)=15,  g''(x)=32x \]

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac {15}{32x}=0 \]

Очевидно, что в данном случае пользоваться правилом Лопиталя не стоит.

А если по какой-либо причине у Вас не получается решить задачу самостоятельно, Вы можете заказать решение у нас. Стоимость решения одной задачи на нахождение сложной производной — 10 руб.

Все права защищены © 2014 вматематике.рф

`