Особенность данных пределов заключается в том, что нам с вами их не нужно считать, они уже давно посчитаны до нас. Нам только нужно их опознать и подставить в нужное место уже известный результат. Замечательные пределы значительно упрощают жизнь студента, не зря ведь они названы замечательными.
Первый замечательный предел.
Первым замечательным пределом называется предел вида

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} = 1 \]

Предположим, что мы не знаем чему он равен и попытаемся посчитать его в лоб. Подставляем x=0 в числитель, \sin 0 =0, получаем неопределенность \frac {0}{0}. Загвоздка. Поэтому лучше всего раз и навсегда запомнить, чему он равен.
И еще следует добавить, что вместо х в пределе может стоять любое выражение, главное чтобы оно стремилось к 0.

Из первого замечательного предела можно сделать пару следствий
Следствия первого замечательного предела

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac {1}{\frac {\sin x}{x}}= \frac 11 = 1 \]

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sin (kx)}{ kx} = 1 \]

Посмотрим примеры:

Пример 1. Вычислить предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sin 5x}{x} \]

Решение:
Для начала подставляем в функцию x=0, получаем неопределенность \frac 00
Это предел вида

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sin (kx)}{ kx} = 1 \]

Только не хватает k в знаменателе, но его очень просто добавить

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac { \sin 5x}{\frac 55 x} = 5 \lim_{x \to 0} \frac {\sin 5x}{5x} = 5 \]

Пример 2. Вычислить предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {x}{\arcsin x} \]

Решение:
Сделаем замену переменной \arcsin x=y, тогда x=\sin y

    \[ \lim_{x \to 0} \arcsin x = \arcsin 0 =0 \]

Следовательно, при x \to 0 выполняется y \to 0
После замены переменной предел примет вид

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sin y}{y} \]

Получили первый замечательный предел в чистом виде, а значит

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {x}{\arcsin x}=1 \]

Пример 3. Вычислить предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {1- \cos x}{x^2} \]

Решение:
Подставляем x=0

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {1- \cos x}{x^2} = \frac 00 \]

Наличие тригонометрической функции, пусть даже это не синус, в числителе и x-а в знаменателе говорят о том, что эту функцию можно попробовать привести к первому замечательному пределу.
Вспомним про тригонометрическую формулу (если забыли тригонометрические формулы, смотрите здесь)

    \[ \sin^2 x = 1-\cos^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x) \]

Приведем числитель к этой формуле, умножив и разделив всю дробь на (1+cos x)

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {1- \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac {(1- \cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)} \]

Теперь можем свернуть числитель

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)} \]

Теперь несложно увидеть здесь первый замечательный предел, который смело приравниваем к единице

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {1}{1+\cos x}= \frac 12 \]

Пример 4. Вычислить предел

    \[ \lim_{x \to 0} x \ctg 3x \]

Решение:
Пока неопределенности \frac 00 мы не наблюдаем, но она легко появляется, если записать функцию в немного другом виде

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {x \cos 3x}{\sin 3x}= \frac 00 \]

Делаем первый замечательный предел

    \[ \lim_{x \to 0} \frac {x \cos 3x}{\sin 3x}= \lim_{x \to 0} \frac {3x \cos 3x}{3 \sin 3x}= \frac 13 \lim_{x \to 0} \cos 3x = \frac 13 \]

Вот так незамысловато решаются пределы с неопределенностью \frac 00 и тригонометрическими функциями.

Второй замечательный предел.
Второй замечательный предел призван помогать избавляться от неопределенности вида 1^{\infty} и выглядит он так

    \[ \lim_{x \to \infty} (1+ \frac {1}{x})^x = e \]

Вместо x может стоять целая функция, главное, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 5. Вычислить предел

    \[ \lim_{x \to \infty} (\frac {x+a}{x-a})^x \]

Решение:
Подставляем бесконечность, получаем (\frac {\infty}{\infty})^{\infty}
А нам, как мы помним, нужна бесконечность 1^{\infty}. Но не будем торопиться отказываться от применения второго замечательного предела раньше времени. Для начала преобразуем нашу функцию. Чтобы понять как это сделать, нужно вспомнить к чему ее нужно привести, второй замечательный предел имеет вид

    \[ \lim_{x \to \infty} (1+ \frac {1}{x})^x = e \]

Т.е. нам в скобке нужно получить единицу плюс дробь. Приступаем

    \[ \lim_{x \to \infty} \left(\frac {x+a}{x-a} \right)^x= \lim_{x \to \infty} \left(\frac {x-a+2a}{x-a} \right)^x= \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac {2a}{x-a} \right)^x \]

Получили, но дробь у нас пока не такого вида, как нужно нам. Нам надо, чтобы в числителе стояла единица. Добьемся этого, сделав эту дробь трехэтажной

    \[ \lim_{x \to \infty} \left( 1+ \frac {1}{\frac {x-a}{2a}} \right)^x \]

Ну вот, уже близко. Не хватает только степени, она должна быть такая же, как и знаменатель у дроби. Ее легко получить, умножив и поделив стоящий сейчас в степени x на \frac {x-a}{2a}

    \[ \lim_{x \to \infty} \left( 1+ \frac {1}{\frac {x-a}{2a}} \right)^{x \frac {x-a}{2a} \frac {2a}{x-a}} \]

Теперь вычленяем из этого выражения второй замечательный предел и вместо него пишем e

    \[ \lim_{x \to \infty} e^{x \frac {2a}{x-a}} \]

Знак предела можно перенести к степени, так как только она у нас зависит от x

    \[ e^{\lim_{x \to \infty} x \frac {2a}{x-a} } \]

В степени у нас появилась неопределенность \frac {\infty}{\infty}, в теме Предел функции мы уже рассматривали как от нее избавляться. Поделим и числитель и знаменатель на x в старшей степени

    \[ e^{ \lim_{x \to \infty} \frac {2a}{1- \frac ax}} = e^{2a}\]

Пример 6. Вычислить предел

    \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac {x^2+2x-1}{2x^2-3x-2} \right)^{ \frac 1x } \]

Решение:
Подставляем бесконечность в функцию, получаем неопределенность (\frac {\infty}{\infty})^0
Снова не то, что нужно, но преобразования еще никто не отменял.
Для начала разложим числитель и знаменатель на множители (если вы не помните как это делается, повторите школьную тему Дискриминант).

    \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac {(x-1)^2}{(x-1)(x- \frac 12)} \right) ^ {\frac 1x} \]

Сокращаем скобки в числителе и знаменателе

    \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac {x-1}{x- \frac 12} \right) ^ {\frac 1x} \]

Теперь нам нужно привести выражение в скобке к виду 1+\frac 1x. Делаем это так же, как и в предыдущем примере

    \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac {x-\frac 12 - \frac 12}{(x- \frac 12} \right) ^ {\frac 1x} = \lim_{x \to \infty} (1- \frac {1}{2x-1})^{ \frac 1x} = \lim_{x \to \infty} \left( 1+ \frac {1}{\frac {2x-1}{-1}} \right)^{\frac 1x} \]

В скобке получили нужное, теперь приводим степень

    \[ \lim_{x \to \infty} \left( 1+ \frac {1}{\frac {2x-1}{-1}} \right)^{\frac 1x \frac {2x-1}{-1}} \frac {-1}{2x-1}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac {-1}{x(2x-1)}}=e^0=1 \]

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`