.

Сегодня переходим на следующую ступень мастерства в нахождении производной – изучаем логарифмическую производную и производную степенно-показательной функции. Прочтение этого урока подразумевает, что вы уже умеете находить производные простых и сложных функций, их сумм, произведений и отношений. Если что-то из вышеперечисленного вызывает у вас трудности, то вам следует изучить темы «Как найти производную» и «Производная сложной функции». Будем считать, что эти темы вы уже прошли.
Рассмотрим пример:
Пример 1. Найти производную функции

    \[ y=\frac {(3+x^2)(1-x)^3}{2+x^3} \]

Решение:
Есть несколько вариантов нахождения производной данной функции. Первый – решать «в лоб». Т.е. расписать для начала производную частного, затем производную произведения и считать, считать, считать… Недостаток данного метода заключается в том, что в процессе решения будет тянуться очень громоздкая дробь, в которой недолго запутаться и наделать ошибок.
Второй вариант – перед нахождением производной попробовать преобразовать (упростить) функцию. В нашем случае было бы неплохо, если бы для нахождения производной осталось либо только произведение, либо только отношение. Для этого раскроем скобки в числителе, на выходе получим дробь, у которой и в числителе и в знаменателе многочлены. Дифференцировать такую дробь уже будет проще.
Вторым способом это задание решено ….
И, наконец, третий, и самый простой вариант – решить данное задание с помощью логарифмической производной. Что для этого нужно? Все банально просто: нужно «навесить» логарифмы на обе части нашего уравнения.

    \[ \ln y= \ln \frac {(3+x^2)(1-x)^3}{2+x^3} \]

Теперь нужно вспомнить свойства логарифма, а именно, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, а логарифм отношения, равен разности логарифмов, т.е.

    \[ \ln xy = \ln x+ \ln y \]

    \[ \ln \frac xy= \ln x-\ln y \]

И еще нам пригодится другое полезное свойство логарифма: степень под знаком логарифма можно вынести за него

    \[ \ln x^2=2 \ln x \]

А теперь применим все эти свойства к нашей функции

    \[ \ln y = \ln (3+x^2)+3 \ln (1-x)-\ln (2+x^3) \]

Осталось продифференцировать. Я надеюсь, вы помните чему равна производная логарифма, если нет – срочно смотрите Таблицу производных или скачайте ее себе на компьютер.

  Таблица производных (268,0 KiB, 2 836 hits)


Дифференцирование правой части не должно вызвать у вас затруднений, такие производные мы уже находили не один раз. А вот о левой части стоит сказать пару слов. Просто написать, что (\ln y)' = \frac 1y – недостаточно, поскольку y – это сложная функция, зависящая от x. Поэтому и производную нужно считать как от сложной функции, т.е. (\ln y)' = \frac 1y y'.
Получаем

    \begin{align*} \begin{split} \frac {y'}{y}&=\frac {2x}{3+x^2}-\frac {3}{1-x}-\frac {3x^2}{2+x^3}=\\ &= \frac {2x(1-x)(2+x^3)-3(3+x^2)(2+x^3)-3x^2(3+x^2)(1-x)}{(3+x^2)(1-x)(2+x^3)}=\\ &= \frac {4x-4x^2+2x^4-2x^5-18-9x^3-6x^2-3x^5-9x^2+9x^3-3x^4+3x^5}{(3+x^2)(1-x)(2+x^3)}=\\&= \frac {-2x^5-x^4-19x^2+4x-18}{(3+x^2)(1-x)(2+x^3)}  \end{split} \end{align*}

Т.е. у нас образовался y', осталось его только выразить, перенеся y в правую часть

    \[ y'=\frac {-2x^5-x^4-19x^2+4x-18}{(3+x^2)(1-x)(2+x^3)}y \]

Подставляем значение у из условия и преобразуем, если преобразуется

    \begin{align*} \begin{split} y'&=\frac {(-2x^5-x^4-19x^2+4x-18)}{(3+x^2)(1-x)(2+x^3)}\frac {(3+x^2)(1-x)^3}{2+x^3}=\\ &=\frac {(-2x^5-x^4-19x^2+4x-18)(1-x)^2}{(2+x^3)^2}  \end{split} \end{align*}

Дифференцирование с помощью логарифмов удобно применять, когда дано громоздкое выражение или выражение в степени. В первом случае логарифмы помогают разбить выражение на мелкие составляющие, во втором – избавиться от степени.
Посмотрим еще один пример
Пример 2. Найти производную функции

    \[ y=\frac {2^{ax}\cos bx}{\sqrt {a^2+b^2}} \]

Решение:
«Навешиваем» логарифмы

    \[ \ln y=\ln \frac {2^{ax}\cos bx}{\sqrt {a^2+b^2}} \]

Применяем свойства логарифма

    \[ \ln y = ax \ln 2 + \ln \cos bx -\frac 12 \ln (a^2+b^2) \]

    \[ \frac {y'}{y}=a\ln 2-\frac {b \sin bx}{\cos bx}-\frac {1}{2(a^2+b^2)} \]

Выражаем y'

    \[ y'=\left(a\ln2 -b\tg bx - \frac {1}{2(a^2+b^2)}\right)\frac {2^{ax}\cos bx}{\sqrt {a^2+b^2}} \]

Частным случаем степенных являются степенно-показательные функции. У них и в основании и в степени встречается x. Самый простой пример степенно-показательной функции
Пример 3. Найти производную функции

    \[ y=x^x \]

Решение:
Применяем способ логарифмического дифференцирования

    \[ \ln y=\ln x^x \]

Применяем свойства логарифма для степени

    \[ \ln y = x\ln x \]

Дифференцируем

    \[ \frac {y'}{y}= \ln x + \frac xx \]

    \[ y'= (\ln x +1)x^x \]

Но на практике, как правило, встречаются более сложные степенно-показательные функции.
Пример 4. Найти производную функции

    \[ y=(\cos x)^{\sin x}(\sin x)^{\cos x} \]

Решение:
Навешиваем логарифмы на обе части

    \[ \ln y=\ln (\cos x)^{\sin x}(\sin x)^{\cos x} \]

Применяем свойство логарифма

    \[ \ln y = \sin x \ln \cos x + \cos x \ln \sin x \]

Дифференцируем

    \[ \frac {y'}{y}=\cos x \ln \cos x -\frac {\sin^2 x}{\cos x}-\sin x \ln \sin x +\frac {\cos^2 x}{\sin x} \]

    \[y'=(\cos x \ln \cos x -\frac {\sin^2 x}{\cos x}-\sin x \ln \sin x +\frac {\cos^2 x}{\sin x})(\cos x)^{\sin x}(\sin x)^{\cos x} \]

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`