Нахождение производной (дифференцирование) функции – одна из основных тем математического анализа. Без понимания как найти производную и умения ее вычислить в математике делать нечего, так как многие последующие темы (интегрирование, исследование функций) строятся именно на знании этой темы. Не будем сейчас останавливаться на теоретическом определении производной, ее геометрическом и математическом смыслах, все это чуть позже вы сможете прочитать в статье «Определение производной». Будем сразу учиться производные вычислять. Одним из хороших свойств этой темы является то, что для того чтобы понять как найти производную, совершенно не обязательно понимать, что такое сама производная.
А вот что необходимо, так это скачать, распечатать (или найти в любом учебнике по математике и началам анализа) и всегда держать рядом таблицу производных.
Вариант для скачивания:

  Таблица производных (268,0 KiB, 2 836 hits)


Так как найти производную функции? Как всегда будем разбираться на примерах.
Для начала посмотрим правила дифференцирования:

1.Число (константа) выносится за знак производной

    \[ (Cu)'=Cu', \]

где C — число.

Пример 1. Вычислить производную функции

    \[ y= \frac 52 x^2 \]

Решение:

    \[ y'=(\frac 52 x^2)'= \frac 52 (x^2)'= \frac 52* 2x = 5x \]

2. Производная суммы
Тут все логично, производная суммы равна сумме производных

    \[ (u \pm v)'=u' \pm v' \]

Пример 2. Нужно посчитать производную функции

    \[ y=5x^2+2x+6 \]

Решение:

    \[ y'=(5x^2+2x+6)'=(5x^2)'+(2x)'+6'=10x+2 \]

3. Производная произведения
А вот тут логика начинает изменять, производная произведения никак не равна произведению производных

    \[ (uv)'=u'v+uv' \]

Пример 3. Вычислить производную функции

    \[ y=-5 \cos x \frac {1} {\sqrt {x}} \]

Решение:

    \[ y'=(-5 \cos x \frac {1} {\sqrt {x}})'=(-5 \cos x)'\frac {1} {\sqrt {x}}+(-5 \cos x) (\frac {1} {\sqrt {x}})' \]

Осталось посчитать производные. Производная от \cos x – табличная производная, равна - \sin x. Чтобы посчитать производную от \frac 1 {\sqrt{\,x}}, нужно представить эту функцию в виде степенной x^{- \frac 12} и теперь с помощью той же таблицы найти производную

    \[  (x^{- \frac 12})'= - \frac 12 x^{- \frac 12 - 1}=- \frac {1}{2 \sqrt {x^3}} \]

А теперь подставляем посчитанные производные в наш пример

    \[ y'=-5 (- \sin x) \frac {1}{ \sqrt {x}}+(-5 \cos x)(- \frac {1}{2 \sqrt {x^3}})= \frac {5}{\sqrt {x}}(\sin x+ \frac {\cos x}{2x}) \]

4. Производная частного
А эту формулу надо просто запомнить

    \[ \left(\frac uv \right)'= \frac {u'v-uv'}{v^2} \]

Пример 4. Вычислить производную функции

    \[ y= \frac {2x}{1+x^2} \]

Решение:

    \[ y'= \frac {(2x)'(1+x^2)-2x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2}= \frac {2(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^2}= \frac {2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} \]

Пример 5. Найти производную функции

    \[ y= \frac {(2-x^2)(2-x^3)}{(1-x)^2} \]

Решение:
Можно, конечно, начать дифференцировать прямо так, как выражение дано, сначала расписать его как производную частного, потом как производную произведения:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&=\left( \frac {(2-x^2)(2-x^3)}{(1-x)^2} \right)'=\\ &= \frac {((2-x^2)'(2-x^3)+(2-x^2)(2-x^3)')(1-x^2)-(2-x^2)(2-x^3)((1-x^2)')}{(1-x)^4}  \end{split} \end{align*}

Но в таком громоздком выражении вы обязательно допустите ошибку и потом долго еще будете ее ловить. Поэтому прежде чем приступать к дифференцированию, нужно проверить, нельзя ли упростить функцию. В нашем случае это легко сделать, раскрыв скобки в числителе и избавившись тем самым от производной произведения:

    \[ y= \frac {4-2x^2-2x^3+x^5}{(1-x)^2} \]

Ну вот, теперь все стало гораздо проще, осталось посчитать производную частного

    \begin{align*} \begin{split}   y'&= \frac {(-4x-6x^2+5x^4)(1-x)^2-(4-2x^2-2x^3+x^5)(2x-2)}{(1-x)^4}= \\ &= \frac {-4x-6x^2+5x^4+4x^2+6x^3-5x^5+8-4x^2-4x^3+2x^5}{(1-x)^3}= \\ &= \frac {-3x^5+5x^4+2x^3-6x^2-4x+8}{(1-x)^3}  \end{split}  \end{align*}

Производная найдена, осталось только добавить, что эта функция имеет смысл при x \not= 1.

Этот же пример можно решить с помощью логарифмов, решение этим методом есть в АнтиДемидовиче, задача №848 .
5. Производная сложной функции

    \[ (u(v))'=u'(v)v' \]

А эта тема достойна отдельной более подробной главы «Производная сложной функции» .

А если по какой-либо причине у Вас не получается решить задачу самостоятельно, Вы можете заказать решение у нас. Стоимость решения одной задачи на нахождение производной — 10 руб.

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`