Задача №1046. Найти производную функции, заданной параметрически

    \[ x= \arcsin \frac {t}{\sqrt {1+t^2}}, y=\arccos \frac {1}{\sqrt {1+t^2}} \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  \frac {dy}{dt}&=2t \left( - \frac 12 (1+t^2)^{-\frac 32} \right) \left(- \frac {1}{-\sqrt {1- \frac {1}{1+t^2}}} \right) = \frac {t}{(1+t^2)^{\frac 32}} \frac {1}{\sqrt {\frac {1+t^2-1}{1+t^2}}} = \frac {t}{(1+t^2)^{\frac 32} \sqrt {\frac {t^2}{1+t^2}}}=\\ &= \frac {sgn t}{1+t^2}   \end{split} \end{align*}

    \[ \frac {dx}{dt}=\frac {\left( \sqrt {1+t^2}-\frac 12 \frac {2t^2}{\sqrt {1+t^2}} \right)}{1+t^2} \frac {1}{\sqrt {1- \frac {t^2}{1+t^2}}}=\frac {\frac {1}{\sqrt {1+t^2}}}{(1+t^2)\sqrt {\frac {1}{1+t^2}}} = \frac {1}{1+t^2} \]

    \[ \frac {dy}{dx}= \frac {\frac {sgn t}{1+t^2}}{\frac {1}{1+t^2}}= \sgn t \]

при 0<|t|< +infty.

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`