Задача №1628
Задача №1629
Задача №1630
Задача №1631
Задача №1632
Задача №1633
Задача №1634
Задача №1635
Задача №1636
Задача №1637
Задача №1638
Задача №1639
Задача №1640
Задача №1641
Задача №1642
Задача №1644
Задача №1645
Задача №1647
Задача №1648

Задача №1628

    \[ \int (3-x^2)^3 dx  \]

Решение:

    \[  \int (3-x^2)^3 dx= \int (27-27x^2+9x^4-x^6) dx = 27x -9x^3+\frac 95 x^5-\frac 17 x^7+C \]

Задача №1629

    \[ \int x^2(5-x)^4 dx  \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  \int x^2(5-x)^4 dx&= \int x^2(625-500x+150x^2-20x^3+x^4) dx =\\&= \frac {625}{3}x^3-125x^4+30x^3-\frac {10}{3}x^6+\frac 17 x^7+C  \end{split} \end{align*}

Задача №1630

    \[ \int (1-x)(1-2x)(1-3x) dx  \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  \int (1-x)(1-2x)(1-3x) dx &= \int (1-3x+2x^2)(1-3x) dx = \int (1-6x+11x^2-6x^3) dx =\\&=x-3 x^2+\frac {11}{3}x^3-\frac 32 x^4+C \end{split} \end{align*}

Задача №1631

    \[ \int \left(\frac {1-x}{x}\right)^2 dx  \]

Решение:

    \[ \int \left(\frac {1-x}{x}\right)^2 dx= \int \frac {1-2x+x^2}{x^2} dx= \int \left(\frac {1}{x^2}-\frac 2x+1\right)dx=-\frac 1x-2\ln |x|+x+C  \]

Задача №1632

    \[ \int \left(\frac ax+\frac {a^2}{x^2}+\frac {a^3}{x^3}\right) dx  \]

Решение:

    \[ \int \left(\frac ax+\frac {a^2}{x^2}+\frac {a^3}{x^3}\right) dx = a\ln |x| -\frac{a^2}{x}- \frac {a^3}{2x^2}+C \]

Задача №1633

    \[ \int \frac {x+1}{\sqrt {x}} dx  \]

Решение:

    \[ \int \frac {x+1}{\sqrt {x}} dx = \int (\sqrt{x}+x^{-\frac 12}) dx=\frac 23 \sqrt {x^3} + 2\sqrt{x}+C= \frac 23 x\sqrt {x} + 2\sqrt{x}+C \]

Задача №1634

    \[ \int \frac {\sqrt {x}-2 \sqrt [3]{x^2}+1}{\sqrt [4] {x}} dx  \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  \int \frac {\sqrt {x}-2 \sqrt [3]{x^2}+1}{\sqrt [4] {x}} dx&= \int (x^{\frac14}-2x^{\frac {5}{12}}+x^{-\frac 14}) dx= \frac 45 x^{\frac 54} -\frac {24}{17}x^{\frac {17}{12}}+ -\frac 43 x^{\frac 34}+C= \\ &= \frac 45 x \sqrt [4]{x}- \frac {24}{17}x \sqrt [12]{x^5}+ \frac 43 \sqrt [4] {x^3}+C \end{split} \end{align*}

Задача №1636. Вычислить интеграл

    \[ \int (1-\frac {1}{x^2})\sqrt {x\sqrt {x}} dx \]

Решение:

    \[ \int (1-\frac {1}{x^2})\sqrt {x\sqrt {x}} dx = \int (1-\frac {1}{x^2}) x^{\frac 34} dx= \int (x^{\frac 34}-x^{- \frac 54}) dx = \frac 47 x^{\frac 74}+4x^{-\frac 14}+C=\frac {4(x^2+7)}{7 \sqrt [4]{x}}+C \]

Задача №1637. Вычислить интеграл

    \[ \int \frac {(\sqrt {2x}-\sqrt [3]{3x})^2}{x} dx \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  \int \frac {(\sqrt {2x}-\sqrt [3]{3x})^2}{x} dx &=\int \frac {2x-2\sqrt {2x} \sqrt [3] {3x}+(3x)^{\frac 23}}{x}dx= \int (2-2 (2^{\frac 12}) 3^{\frac 13}x^{-\frac 16}+3^{\frac 23}x^{-\frac 13})dx=\\ &=2x-2 (2^{\frac 12}) 3^{\frac 13} \frac 65 x^{\frac 56}+3^{\frac 23} \frac 32 x^{\frac 23}+C=2x- \frac {12}{5}\sqrt [6]{72x^5}+\frac 32\sqrt [3]{9x^2}+C  \end{split} \end{align*}

Задача №1638. Вычислить интеграл

    \[ \int \frac {\sqrt {x^4+x^{-4}+2}}{x^3}dx \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  \int \frac {\sqrt {x^4+x^{-4}+2}}{x^3}dx&=\int \frac {\sqrt {\frac {x^8+1+2x^4}{x^4}}}{x^3} dx= \int \frac {\sqrt {\frac {(x^4+1)^2}{x^4}}}{x^3} dx=\int \frac {x^4+1}{x^5} dx=\\ &= \int \left(\frac 1x+\frac {1}{x^5}\right) dx= \ln |x|-\frac {1}{4x^4}+C  \end{split} \end{align*}

Задача №1639. Вычислить интеграл

    \[ \int \frac {x^2}{1+x^2}dx \]

Решение:

    \[ \int \frac {x^2}{1+x^2}dx=  \int \frac {x^2+1-1}{1+x^2}dx= \int \left(1- \frac {1}{x^2+1}\right)dx= x-\arctg x+C \]

Задача №1640. Вычислить интеграл

    \[ \int \frac {x^2}{1-x^2}dx \]

Решение:

    \[ \int \frac {x^2}{1-x^2}dx= -\int \frac {x^2-1+1}{x^2-1}dx=\int \left(-1+\frac {1}{1-x^2}\right)dx=-x+\frac 12 \ln \left|\frac {x+1}{x-1}\right|+C \]

Задача №1641. Вычислить интеграл

    \[ \int \frac {x^2+3}{x^2-1}dx \]

Решение:

    \[ \int \frac {x^2+3}{x^2-1}dx= \int \frac {x^2-1+4}{x^2-1}dx= \int \left(1+\frac {4}{x^2-1}\right)dx= x+2 \ln \left|\frac {x-1}{x+1}\right|+C \]

Задача №1642. Вычислить интеграл

    \[ \int \frac {\sqrt {1+x^2}+\sqrt {1-x^2}}{\sqrt {1-x^4}}dx \]

Решение:

    \[ \int \frac {\sqrt {1+x^2}+\sqrt {1-x^2}}{\sqrt {1-x^4}}dx=\int \left(\frac {1}{\sqrt {1-x^2}}+\frac {1}{\sqrt {1+x^2}}\right)dx=\arcsin x +\ln |x+\sqrt {x^2+1}|+C \]

Задача №1644. Вычислить интеграл

    \[ \int (2^x+3^x)^2 dx \]

Решение:

    \[ \int (2^x+3^x)^2 dx=\frac {4^x}{\ln 4}+2\frac {6^x}{\ln 6}+\frac {9^x}{\ln 9}+C \]

Задача №1645

    \[ \int \frac {2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x} dx  \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}   \int \frac {2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x} dx &= \int \frac {2^x 2 -\frac {5^x}{5}}{2^x 5^x} dx = \int \left(2 \left(\frac 15\right)^x - \frac 15 \left(\frac 12\right)^x\right) dx =\\ &= \frac {2}{\ln 1 -\ln 5}\left(\frac 15\right)^x - \frac {1}{5(\ln 1 - \ln 2)}\left(\frac 12\right)^x+C=\\&= -\frac {2}{\ln 5} \left(\frac 15\right)^x+\frac {1}{\ln 2}\left( \frac 12 \right)^x+C \end{split} \end{align*}

Задача №1647. Вычислить интеграл

    \[ \int (1+\sin x+ \cos x) dx \]

Решение:

    \[ \int (1+\sin x+ \cos x) dx= x-\cos x + \sin x +C \]

Задача №1648. Вычислить интеграл

    \[ \int \sqrt {1-\sin 2x} dx \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}  \int \sqrt {1-\sin 2x} dx&= \int \sqrt {1-2\cos x \sin x} dx= \int \sqrt {(\cos x - \sin x)^2} dx=\\ &= \int sgn [(\cos x- \sin x)](\cos x-\sin x)  = sgn [(\cos x- \sin x)](\sin x + \cos x) +C \end{split} \end{align*}

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`