В прошлый раз мы с вами узнали Как найти производную, сегодня будем разбираться с производными сложных функций.

Примеры на нахождение производной сложной функции встречаются очень и очень часто. Выражение u(v) означает, что существует какая-то функция v(x) и, наряду с ней, существует другая функция u, зависящая от этой v(x), т.е. u(v(x)). Проще говоря, сложная функция – это функция, зависящая от другой функции. Неформально принято называть функцию vвнутренней функцией, а uвнешней функцией.
Давайте посмотрим на примере.

P.S. Нам все так же будет нужна таблица производных , если вы ее еще не скачали, сделайте это прямо сейчас.

Пример 1. Найти производную функции

    \[ y=e^{-x^2} \]

Решение:
Производная e^{x} – это табличная производная и равна она e^{x}, но у нас e^{-x^2}, т.е. под табличную эта функция уже не подходит. Это сложная функция, давайте попробуем разобраться где здесь внутренняя и внешняя функции.
Чтобы понять какая функция является внутренней, нужно представить, что нам известен x, например, x=1. В первую очередь вы будете возводить 1 во вторую степень, поэтому -x^2 – это внутренняя функция. А уже затем вы будете возводить e в получившуюся степень, поэтому e^{-x^2} — внешняя функция. Теперь, когда стало ясно что у нас что, можно применять формулу дифференцирования сложной функции.

    \[ u'(v)=e^{-x^2},\; \; v'=-2x \]

То есть ответ выглядит так:

    \[ y'=-2xe^{-x^2} \]

Подсказка: Чтобы найти производную сложной функции нужно, для начала, определить какая функция является внешней, а какая внутренней. Для этого нужно определить какое действие выполняется первым, а какое последним. Сделать это проще всего, подставив в функцию конкретное значение x. То действие, которое выполняется первым – внутренняя функция, последним – внешняя.
Иногда встречаются примеры, в которых внутренняя функция не одна, а две или три. Чуть позже рассмотрим такой пример. А пока пара примеров попроще:

Пример 2. Найти производную функции

    \[ y=x \sqrt{1+x^2} \]

Решение:
Для начала распишем производную произведения

    \[ y'=(x \sqrt{1+x^2})'=x' \sqrt{1+x^2}+x (\sqrt{1+x^2})' \]

Во втором слагаемом у нас появилась производная сложной функции, где x^2 – внутренняя функция v(x), а корень – внешняя u. Применяем формулу:

    \[ u'(v)= \frac 12 \frac {1}{ \sqrt {1+x^2}}, \; \; v'(x)=2x \]

В результате получаем

    \[ y'=\sqrt{1+x^2}+2x^2 \frac {1}{2 \sqrt {1+x^2}}= \frac {1+2x^2}{ \sqrt {1+x^2}} \]

Пример 3. Найти производную функции

    \[ y= \sin 3x \]

Решение:
Это тоже сложная функция, так как посчитать просто производную от синуса по таблице не достаточно, у нас еще 3-ка перед x. Внутренней функцией здесь является 3x, внешней \sin 3x. Применяем все ту же формулу

    \[ u'(v)= \cos 3x, \; v'=3 \]

Ответ будет выглядеть так y'=3cos3x.
А теперь обещанный пример на несколько внутренних функций.

Пример 4. Найти производную функции

    \[ y= \arctg e^{2x} \]

Решение:
Находим внутреннюю и внешнюю функции. Для этого предполагаем, что x=1 и пытаемся посчитать уравнение. В первую очередь считаем степень у e, т.е. 2x – это первая внутренняя функция, затем возводим e^{2x} – это вторая внутренняя функция, а затем считаем арктангенс – это внешняя функция. Далее по формуле

    \[ u'(v_2(v_1))= \frac {1}{1+e^{2x}}, \; v'_2=e^{2x}, \; v'_1=2 \]

    \[ y'=\frac {2e^{2x}}{1+e^{2x}} \]

Пример 5. Найти производную функции

    \[ y=2^{4 \ln \sin (2x+1)} \]

Решение:
Давайте разбираться «кто есть кто?».
Для этого представим, что нам известно значение х, например, х=1 и нам нужно посчитать это уравнение в численном виде. В первую очередь логично посчитать аргумент у синуса. А значит, 2х+1 – это первая (самая) внутренняя функция. Аргумент посчитали, теперь можно посчитать чему равен \sin 3, т.е. \sin — это вторая внутренняя функция. После того как нам стало известно чему равен синус, который по совместительству является в этом уравнении аргументом логарифма, можно считать логарифм, который здесь будет третьей внутренней функцией. Ну, и наконец, возводим 2 в получившуюся степень, это будет последним действием, поэтому 2^{4 \ln \sin (2x+1)} — внешняя функция.
А теперь снова действуем по формуле u(v)=u'(v)v', только для нашего случая ее будет правильнее записать так:

    \[ u(v_3(v_2(v_1)))=u'(v_3(v_2(v_1)))v'_3(v_2(v_1))v'_2(v_1)v'_1 \]

    \[ u'(v_3(v_2(v_1)))=2^{4 \ln \sin (2x+1)} \ln 2 \]

    \[ v'_3(v_2(v_1))= \frac {4}{ \sin (2x+1)} \]

    \[ v'_2(v_1)= \ cos (2x+1) \]

    \[ v'_1=2 \]

Осталось собрать все в одну формулу и немного преобразовать результат.

    \[ y'=2^{4 \ln \sin (2x+1)} \ln 2 \frac {4}{ \sin (2x+1)} \ cos (2x+1) 2 =8 \ln 2  \ctg (2x+1) 2^{4 \ln \sin (2x+1)} \]

Для тех, кому не очень понятна запись в отдельных действиях, запишу все решение в одну строку:

    \begin{align*} \begin{split}  y'&=(2^{4 \ln \sin (2x+1)})'=2^{4 \ln \sin (2x+1)} \ln 2 (4 \ln \sin (2x+1))'=\\ &= 2^{4 \ln \sin (2x+1)} \ln 2 \frac {4}{ \sin (2x+1)} ( \sin (2x+1))'=\\ &= 2^{4 \ln \sin (2x+1)} \ln 2 \frac {4}{ \sin (2x+1)} \cos (2x+1) (2x+1)'=\\ &= 2^{4 \ln \sin (2x+1)} \ln 2 \frac {4}{ \sin (2x+1)} \cos (2x+1) 2=\\ &= 8 \ln 2 \ctg (2x+1) 2^{4 \ln \sin (2x+1)} \end{split} \end{align*}

Надеюсь, вы разобрались с этой темой.

А если по какой-либо причине у Вас не получается решить задачу самостоятельно, Вы можете заказать решение у нас. Стоимость решения одной задачи на нахождение сложной производной — 10 руб.

Если вы интересуетесь торговлей на рынке Форекс, то вам полезно будет почитать статью Как стать успешным трейдером?

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`