Производная, полный дифференциал.

Задача 1 Найти \frac {dy}{dx}

    \[ y=x^4 \sin^3 5x - \arcsin 3x  \]

Решение:

    \begin{align*} \begin{split}   \frac {dy}{dx} &= y'=4x^3 \sin^3 5x + 3*5 x^4 \sin^2 5x \cos 5x - \frac {3}{\sqrt{1-9x^2}}=\\&= 4x^3 \sin^3 5x+15x^4 \sin^2 5x \cos 5x - \frac {3}{\sqrt {1-9x^2}} \end{split} \end{align*}

Задача 2 Найти полный дифференциал функции z=f(x,y)

    \[ z=4x^2 \cos 6y +2y^3x^2-5 \]

Решение:
Полный дифференциал функции двух переменных ищется по формуле

    \[ dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy \]

Где \frac{\partial z}{\partial x} и \frac{\partial z}{\partial y} — частные производные. Найдем их

    \[ \frac{\partial z}{\partial x}=4*2x \cos 6y+2y^3*2x= 4x(2 \cos 6y+y^3) \]

    \[ \frac{\partial z}{\partial y}=4x^2*6(-\sin 6y)+2x^2*3y^2=6x^2(y^2-4 \sin 6y) \]

Подставляем частные производные в формулу, получаем полный дифференциал функции z

    \[ dz=4x(2 \cos 6y+y^3)dx+6x^2(y^2-4 \sin 6y)dy \]

Все права защищены © 2013 вматематике.рф

`